a4123
| 23 |
|---|
Erinnern wir uns an die Komponenten der Poincaré-Gruppe:
E: Energie
p: Impuls
f: Passage
l: Spinmatrix.
Um dem Text von Souriau nahezukommen, nennen wir
-
Ln das Element der neutralen Komponente Ln der vollständigen Lorentz-Gruppe L.
-
Ls das Element derjenigen, die den Raum umkehren.
-
Lt das Element derjenigen, die die Zeit umkehren.
-
Lst das Element derjenigen, die sowohl Raum als auch Zeit umkehren.
C sei der Vektor der Raum-Zeit-Translation. Wir erhalten folgende Komponenten der Poincaré-Gruppe:
gp ( Ln , C) Element der neutralen Komponente Gpn.
gp ( Ls , C) Element der Komponente Gps, die den Raum umkehrt.
gp ( Lt , C) Element der Komponente Gpt, die die Zeit umkehrt.
gp ( Lst , C) Element der Komponente Gpst, die beide umkehrt.
Die koadjungierte Wirkung ist: (313)
P ist der Viervektor:
(314)
Wir haben vier charakteristische Matrizen: (315)
mit l = ± 1 und m = ± 1.
Ln = L ( l = 1 ; m = 1)
Ls = L ( l = - 1 ; m = 1)
Lt = L ( l = 1 ; m = -1)
Lst = L ( l = - 1 ; m = -1)
(316)
(317)
(318)
Wir interessieren uns für C = 0 (319)
daraus folgt l' = l und f' = l m f
sowie: (320)
gp ( Ln , C): I E → E; p → p; f → f; l → l
gp ( Ls , C): I E → E; p → -p; f → -f; l → l
gp ( Lt , C): I E → -E; p → p; f → -f; l → l
gp ( Lst , C): I E → -E; p → -p; f → f; l → l
Die Inversionen verändern die Spinmatrix l nicht.
Im Gegensatz dazu sind T-Inversion und Energieinversion synonym.
E → -E (man könnte dies eine „E-Symmetrie“ nennen)
Der Spin s, wie der Betrag des Spinvektors s, ist lediglich eine Zahl, unverändert unter der Wirkung aller Gruppenkomponenten, unabhängig davon, ob sie orthochron oder antichron sind. ...Die Ruheenergie eines Teilchens beträgt mc². Wie wir sehen, geht die Masseninversion Hand in Hand mit der Zeitinversion. Doch die Rauminversion verändert weder Energie noch Masse.
Souriau nennt die beiden ersten zusammenhängenden Komponenten der vollständigen Poincaré-Gruppe:
Gpn, Gps
die orthochronen Komponenten (Gpn ist die neutrale Komponente).
Die beiden anderen: Gpt, Gpst
die antichronen Komponenten. Damit ergibt sich das Problem negativer Massen. Existieren sie? Wenn ja, was geschieht bei der Kollision von Teilchen mit entgegengesetzten Massen und Energien:
- mc² und - mc²
...Dabei handelt es sich nicht um die sogenannte „Annihilation“ eines Teilchen-Antiteilchen-Paares. Bei der Kollision solcher Paare entsteht strahlende Energie, Photonen. Das Ergebnis der Kollision eines Teilchens mit positiver und eines mit negativer Energie müsste viel verwirrender sein, da es null ergeben müsste: nichts.
...Was ist die Natur, was sind Teilchen? In diesem Ansatz gehen wir von einer gegebenen Gruppe aus: der Poincaré-Gruppe. Anschließend konstruieren wir die Wirkung dieser Gruppe auf ihren Impulsraum. Dieser Impulsraum besteht aus Punkten. Jeder Punkt entspricht einer Bewegung eines der geometrischen Objekte, aus denen der mit der Gruppe assoziierte Raum besteht.
...In der Folge werden wir zeigen, dass die Poincaré-Gruppe nicht in der Lage ist, alle Eigenschaften von Teilchen zu berücksichtigen.
...Die Dimension der Poincaré-Gruppe beträgt 10.
Die Dimension des Impulsraums ist daher ebenfalls zehn. (321) J = { E, p, f, l }
Wählen wir ein Bezugssystem, das mit dem Teilchen verbunden ist, dann gilt f = 0.
Zusammenfassend sind die nur natürlichen Eigenschaften, die aus der Poincaré-Gruppe als geometrische Größen hervorgehen, folgende:
Für ein masseloses Teilchen:
- Seine Energie – Ihr Spin und ihre Helizität
Für ein Teilchen mit nicht verschwindender Masse:
- Ihre Ruheenergie – Ihr Spin.
Die anderen Eigenschaften:
-
Elektrische Ladung
-
Baryonenzahl
-
Leptonenzahl
-
Muonische Ladung
-
Tauonische Ladung
-
Gyromagnetisches Verhältnis
sowie die Tatsache, dass dieses Teilchen der Materie oder der Antimaterie entsprechen kann, sind nicht „in der Poincaré-Gruppe enthalten“. Wir werden die Gruppe später erweitern, um diese zu behandeln.
Derzeit „konstruiert“ die Gruppe weder Teilchen noch Antiteilchen. Doch wenn sie durch ihre beiden Teilmengen vervollständigt wird (die beiden orthochronen Komponenten sowie die beiden antichronen), „konstruiert“ sie als verschiedene Arten Teilchen mit positiver und negativer Energie.
...Wenn die vollständige Poincaré-Gruppe das Universum „beherrscht“, könnten positive und negative Energien koexistieren, sodass ihre Begegnung eine vollständige Annihilation hervorruft. Wenn das Universum zu 50 % aus Teilchen mit positiver Energie und zu 50 % aus Teilchen mit negativer Energie bestünde, gäbe es ein großes Risiko, dass das gesamte Universum sich selbst annihilieren würde, ohne etwas zurückzulassen:
-
Keine Teilchen mit positiver Energie.
-
Keine Teilchen mit negativer Energie – Keine Photonen mit positiver Energie
-
Keine Photonen mit negativer Energie.
Nichts. Gar nichts. Was für eine Katastrophe!
...Wie Souriau vorschlägt, hat Gott in seiner unendlichen Weisheit nur Teilchen mit positiver Energie und Photonen mit positiver Energie geschaffen. Ebenso verbieten seine Engel die Nutzung der antichronen Komponenten der Poincaré-Gruppe, die streng irgendwo eingesperrt wären.
...Wir werden in einer späteren Sektion über eine andere Möglichkeit nachdenken.