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Die spezielle Galileigruppe.
...Der Leser findet diese Erweiterung in dem Buch von Souriau: Structure of Dynamical Systems, Birkhäuser Verlag 1997 und auf Französisch: Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod Verlag 1973.
...Ein Gruppe kann erweitert werden. Das bedeutet, dass die Anzahl der Parameter, von denen sie abhängt, zunimmt. Berechnen Sie die Anzahl der Parameter, von denen die Galileigruppe abhängt. Wir beginnen mit der 3D-Rotationsmatrix:
(322)
Es handelt sich um eine orthogonale Matrix:
(323)
Diese Matrizen bilden die Gruppe SO(3), die eine Untergruppe der Gruppe O(3) ist, bestehend aus allen orthogonalen Matrizen. Wir haben:
(324)
Erinnern wir uns an den Unterschied zu:
(325) (325b)
sind die allgemeinsten orthogonalen Matrizen, deren Determinanten folgender Bedingung genügen:
(326)
Ende dieser Parenthese.
Die nächste Gruppe quadratischer Matrizen (5,5) wird die spezielle Galileigruppe genannt:
(327)
Die Rotationsmatrix hängt von drei freien Parametern ab, den Eulerwinkeln. Die Dimension der Gruppe beträgt somit zehn.
Mit Hilfe der Notationen:
(328)
erhalten wir:
(329)
Verbunden mit dem Raum-Zeit-Vektor:
(330)
so dass die entsprechende Wirkung der speziellen Galileigruppe ist:
(331)
...Gegeben die spezielle Galileigruppe, ist es möglich, die Wirkung der Gruppe auf ihren Momentenraum zu berechnen. Diese Berechnung wird hier nicht angegeben. Der Leser findet sie in meinen Vorlesungen über Gruppen, die verfügbar sind.
Geben wir das Ergebnis an:
(332)
Wir erkennen den Impuls p und die Energie E. Der Impuls besteht aus:
(333) JSG = { E , p , f , l }
...Zehn skalare Größen. Zehn Dimensionen für die Gruppe. Wir haben weiterhin den Übergangsvektor f und die antisymmetrische Spinmatrix l (bestehend aus drei unabhängigen Komponenten lx, ly, lz, die den „Spinvektor“ bilden).
Die triviale Erweiterung der speziellen Galileigruppe.
Die folgenden Matrizen bilden eine neue Gruppe:
(334)
Sie führt eine neue skalare Komponente f ein, das „Phasis“ (verbunden mit der Quantenwelt). Die Dimension der Gruppe wird zu 10 + 1 = 11.
Diese neue Gruppe wirkt auf einen fünfdimensionalen Raum:
(335)
z ist eine „zusätzliche Dimension“. Sie wurde erstmals 1921 vom Polen Kaluza eingeführt, später 1964 von J.M. Souriau (Géométrie et relativité, Hermann Verlag, nicht ins Englische übersetzt).
Nochmals kann man die entsprechende koadjungierte Wirkung der Gruppe auf ihren Momentenraum berechnen. Wir erhalten:
(336)
Der Impuls wird zu:
(337) JTESG = { m , E , p , f , l }
...Wir haben eine zusätzliche skalare Größe m, die wir der Masse zuordnen. Wir sehen, dass die spezielle Galileigruppe, die auf den Raum-Zeit-Raum wirkt, die Energie, aber nicht die Masse, als Komponente des Impulses liefert. Derzeit (durch triviale Erweiterung) erhält unser Teilchen ein zusätzliches Attribut, das willkürlich der Masse zugeordnet wird und mit den anderen Komponenten des Impulses nicht interagiert.