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Nichttriviale Erweiterung der speziellen Galileigruppe.
Die Bargmann-Gruppe (1960)
Die folgenden Matrizen (siehe meine Vorlesungen über Gruppen)
(338)
bilden eine Gruppe, die 1960 von Bargmann entdeckt wurde. Auch hier wirkt sie auf einem fünfdimensionalen Raum. Ihre Dimension beträgt 11, bedingt durch das Vorhandensein des Skalars f. Es handelt sich um eine nichttriviale Erweiterung der speziellen Galileigruppe.
(339)
Wenn man die koadjungierte Wirkung der Gruppe auf ihren Impuls berechnet, erhält man:
(340)
...Wir sehen, dass diese koadjungierte Wirkung feiner ist und dass die Masse mit den anderen Komponenten des Impulses wechselwirkt. Dies haben wir oben bereits analysiert und gezeigt, wie dies eine physikalische Bedeutung für die Impulskomponenten liefert.
...Ein Impuls ist eine Bewegung einer bestimmten Teilchen. Die Bargmann-Gruppe beschreibt nichtrelativistische Bewegungen. Man kann sich eine ruhende Teilchen vorstellen, ohne Energie, ohne Impuls, ohne Spin. Nur eine von Null verschiedene Masse:
m
**p **= 0
E = 0
**f **= 0
**l **= 0
Wir verwenden das folgende Element der Bargmann-Gruppe:
(341)
Die Komponenten des Impulses werden zu:
(342)
...In einem Bezugssystem, das mit der Teilchen verknüpft ist, bleibt der Übergang **f **null. Wir haben gezeigt, dass die Spinmatrix dem Drehimpuls entspricht.
...Wichtig hierbei ist, die triviale Erweiterung der speziellen Galileigruppe zu betrachten (warum „speziell“? Dies wird später erklärt). Bei dieser triviale Erweiterung wird lediglich ein zusätzlicher Skalar zum Impuls hinzugefügt.
Betrachten wir nun die Erweiterung der Poincaré-Gruppe:
Zentrale Erweiterung der Poincaré-Gruppe. (343)
„ep“ bedeutet „erweiterte Poincaré-Gruppe“. Lo ist das Element des orthochronen Untergruppen Lo der vollständigen Lorentz-Gruppe L. Damit kann man das oben genannte Element als die orthochrone Untergruppe Gepo einer vollständigen erweiterten Poincaré-Gruppe auffassen, deren Element lautet:
(344)
Beide wirken auf einem fünfdimensionalen Raum:
(345) ( t , x , y , z , z ).
Man kann zeigen, dass diese Erweiterung keine nichtverschwindenden Terme in der ersten Zeile zulässt, anstelle von 0 = ( 0 0 0 ), zwischen 1 und f.
...Wie J.M. Souriau gezeigt hat, ermöglicht die geometrische Quantisierungsmethode (Methode von Kostant-Kirillov-Souriau) die Herleitung der Schrödinger-Gleichung aus der Bargmann-Gruppe und die der Klein-Gordon-Gleichung aus der erweiterten Poincaré-Gruppe ( Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod Éd. 1972). Außerdem fügt diese zentrale Erweiterung der Gruppe einen zusätzlichen Skalar zum Impuls hinzu (wie bei der trivialen Erweiterung der Bargmann-Gruppe):
(346)
Jep = { c , M , P } = { c , Jp }
Jp repräsentiert den klassischen Impuls der Poincaré-Gruppe. Die koadjungierte Wirkung des Impulses vereinfacht sich dann zu:
(347)
Die Berechnung ist nicht kompliziert und ähnelt der oben dargestellten. Man berechnet die Antiwirkung:
(348)
Danach drückt sich die Dualität durch die Konstanz des folgenden Skalars aus:
(349)
...So erhält man einen zusätzlichen Skalar c, der durch die koadjungierte Wirkung einfach erhalten bleibt. Dieser Skalar hatte bisher keine physikalische Interpretation erhalten. Wir werden dies im Folgenden vollständig klären. Natürlich kann man die Gruppe beliebig oft erweitern:
(350)
Jedes Mal wird ein zusätzlicher Skalar hinzugefügt
(351) Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P } Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp } und die koadjungierte Wirkung wird zu:
(352)
Der Leser könnte sagen: „Na gut, warum fügen wir nicht einfach 57 neue Skalare hinzu?“
Fügen wir einfach sechs hinzu und identifizieren diese neuen Skalare mit
(353)
c 1 = q (elektrische Ladung)
c 2 = cB (Baryonenzahl)
c 3 = cL (Leptonenzahl)
c 4 = cm (Myonenladung)
c 5 = ct (Tau-Ladung)
c 6 = v (gyromagnetisches Verhältnis)
Die Gruppe wirkt auf den folgenden zehndimensionalen Raum:
(354) ( x , y , z , t , z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 )
das heißt: Raum-Zeit plus sechs zusätzliche Dimensionen.
(355)
Erinnern wir uns daran, dass diese Gruppe aus der orthochronen Untergruppe
Lo = Ln (neutrale Komponente) U Ls (entspricht der räumlichen Inversion)
der vollständigen Lorentz-Gruppe L aufgebaut ist.
Der Impuls wird zu:
(356)
Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }
Jp ist der Teil des Impulses, der der Poincaré-Gruppe Gop (orthochrone Untergruppe) entspricht.
Was ist die physikalische Bedeutung?
...Ein Impuls gehört zu einem Raum, der eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit ist. Die Poincaré-Gruppe besitzt zehn Dimensionen, daher besteht der Impuls der Poincaré-Gruppe aus zehn Größen.
Dann fügen wir der Gruppe sechs weitere Dimensionen hinzu, die den zusätzlichen Phasen entsprechen:
(357)
f1 ,f2 ,f3 ,f3 ,f5 ,f5
Der Impuls wird zu:
(358) Jpe = { J1, J2 J3, J4, J5, J6, J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
Wir beschließen, dass unter der Menge der Skalare
(359) Jp = { J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
die Energie E, der Impuls p, der Übergang f, die antisymmetrische Spinmatrix l identifiziert werden.
...E und p können alle möglichen Werte annehmen, doch quantenmechanische Argumente erfordern die Konstanz des Betrags s des Spinvektors (in einem Bezugssystem, das mit der Teilchen verknüpft ist), was hier nicht gerechtfertigt ist und dem Werk von Souriau entspricht.
Wir haben sechs zusätzliche Skalare:
(360) J1, J2 J3, J4, J5, J6
...Wir beschließen, dass unter einer unendlichen Anzahl möglicher Wahlen bestimmte diskrete Wahlen realen Teilchen (und Antiteilchen) entsprechen. In der 16-Mannigfaltigkeit, die dem Impulsraum entspricht, wählen wir daher diskrete Bewegungen aus, die Teilchen mit definierten Quantenzahlen
(361) { q , cB , cL , cm , ct , v }
entsprechen.
...Im Moment stellt die koadjungierte Wirkung der Gruppe lediglich die Erhaltung dieser Größen entlang gegebener Bewegungen sicher. Es gibt „passive Quantenzahlen“, ebenso wie die Masse als passive Größe erscheint, wenn sie aus der trivialen Erweiterung der speziellen Galileigruppe stammt.