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Eine geometrische Definition der Antimaterie.
...Wie Souriau 1964 in "Géométrie et Relativité", Éditions Hermann, Kapitel VII "La Relativité à Cinq Dimensions" (die fünfdimensionale Relativität), Seite 413 erwähnt, „die Umkehrung der fünften Dimension entspricht der Ladungskonjugation“.
...Das ist wahr, wenn die Antimaterie der Definition von Dirac entspricht. Geben wir eine a priori geometrische Definition der Antimaterie an. Wir können den Raum mit Dimensionen darstellen:
(368)
Das kann wie folgt schematisch dargestellt werden, mit einem gefaserten Raum-Zeit:
(369)
...Wir entscheiden, dass sich die Bewegungen der Materie den positiven Werten der z i entsprechen und die der Antimaterie den negativen, was folgendem entspricht:
(370)
Es ist einfach, die Gruppe zu verändern, um dies einzubeziehen.
(371)
Dies wird zu einer vierkomponentigen Gruppe ( l = ± 1 ) × 2 (die erweiterte orthochrone Gruppe besitzt zwei zusammenhängende Komponenten).
Die Komponente ( l = +1 ) ist eine Untergruppe.
...Es ist klar, dass die Elemente ( l = - 1 ) die Vorzeichen der zusätzlichen Variablen verändern. Wir entscheiden, dass sie der Materie-Antimaterie-Dualität entsprechen, rein geometrisch.
Sei:
(380)
Dann können wir schreiben, in kompakterer Form:
(381)
**l **= 1 entspricht der orthochronen Untergruppe.
(382)
Führen wir ein ein, was wir ein „l-Kommutator“ nennen:
(383)
Es gehört zur zweiten Komponente. Jedoch kann jedes Element dieser zweiten Komponente geschrieben werden als:
(384) go = glc × go
wobei ein Element der orthochronen Komponente der Gruppe ist.
Schematisch:
(385)
Auf der linken Seite: der Bewegungsraum, mit zwei Halbräumen, entsprechend
(z i > 0) Bewegungen (Materie)
und
(z i > 0) Bewegungen (Antimaterie)
Zwischen beiden: Bewegungen (z i = 0) (Photonen).
...Auf der rechten Seite: die vierkomponentige Gruppe. Alle sind orthochron. Alle Bewegungen entsprechen positiver Energie (unterhalb, Impulsraum).
Nennen wir die Elemente ( l = - 1 ) „Anti-Elemente“.
Wir haben das Anti-Element des l-Kommutators dargestellt.
...Normale orthochrone Elemente transformieren einen Impuls, der einer positiven Energiebewegung J1+ entspricht, in eine andere positive Energiebewegung J2+.
...Aber Anti-Elemente transformieren die Bewegung der Materie mit positiver Energie in die Bewegung der Antimaterie mit positiver Energie ( J1+ -----> J3+ ) im Impulsraum. Der figurative Punkt befindet sich im Viertel, das der Antimaterie entspricht.
Die entsprechenden Wege sind im Entwicklungsraum dargestellt
(385b)
Die Berechnung der koadjungierten Wirkung der Gruppe
(386)
auf ihren Impulsraum ergibt:
(387)
siehe:
J.P. Petit und P. Midy : "Geometrisierung von Materie und Antimaterie durch die koadjungierte Wirkung einer Gruppe auf ihren Impulsraum. 2 : Geometrische Beschreibung der Dirac-Antimaterie". Physique Géométrique B, 2 , 1998.
Index Theorie der Dynamischen Gruppen
Originalversion (Englisch)
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A geometrical definition of anti-matter.
...As mentioned by Souriau in 1964 in "Géometry and Relativité", Editions Hermann, chapter VII "La Relativité à Cinq Dimensions" ( the five dimensional relativity ), page 413, "the inversion of the fifth dimension corresponds to the charge conjugation".
...It is true if the anti-matter corresponds to Dirac's definition. Let us give an a priori geometric definition of anti-matter. We can figure space with dimensions :
(368)
This can be figured schematically as follows, with fibered space-time :
(369)
...We decide that matter's movements correspond to positive z i 's values and anti-matter's movements to negative ones, which corresponds to :
(370)
It is easy to modify the group in order to integrate this in it.
(371)
This becomes a four-components group ( l = ± 1 ) x 2 ( the extended orthochron group owns two connex components).
The component ( l = +1 ) is a sub-group.
...Clearly, the ( l = - 1 ) elements change the signs of the additional variables. We decide that it corresponds to matter anti-matter duality, on pure geometric grounds.
Let :
(380)
Then we can write, in a more compact way :
(381)
**l **= 1 corresponds to the orthochron sub-group.
(382)
Introduce what we will call a : " l-commuter " :
(383)
It belongs to the second component. But any element of this second component can be written :
(384) go = glc x go
being an element of the orthochron component of the group.
Schematically :
(385)
Left : the movement space, with two half-spaces, corresponding to
(z i > 0) movements ( matter )
and
(z i > 0) movements ( anti-matter )
Between the two the : z i = 0 movements ( photons ).
...Right, the four components group. All are orthochron. All movements correspond to positive energy ( below, momentum space ).
Call the ( l = - 1 ) elements "anti-elements".
We have figured the l-commuter anti-element.
...Normal orthochron elements transform a momentum corresponding to a positive energy movement J1+ into another positive energy movement J2+.
...But anti-elements transform positive energy matter's movement into positive energy anti-matter's movement ( J1+ -----> J3+ ) in momentum space. The figurative point is in the quarter which corresponds to anti-matter.
The corresponding paths are figured in the evolution space
(385b)
The calculation of the coadjoint action of the group
(386)
on its momentum gives :
(387)
see :
J.P.Petit and P.Midy : "Geometrization of matter and anti-matter through coadjoint action of a group on its momentum space. 2 : Geometrical description of Dirac's anti-matter". Geometrical Physics B, 2 , 1998.