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Geometrische Beschreibung der Diracschen Antimaterie.
…Wir sehen, dass l = –1 die Vorzeichen der cᵢ ändert, was einer Ladungskonjugation, einer C-Symmetrie entspricht.
Dies liefert eine geometrische Beschreibung der Antimaterie nach Dirac (Antimaterie mit positiver Energie, positiver Masse).
…Natürlich verändert die C-Symmetrie das Photon nicht, da alle seine Ladungen im Wesentlichen null sind. Es identifiziert sich mit seiner eigenen Antiteilchen.
Geometrische Beschreibung der Feynmanschen Antimaterie.
…Dieser soll PT-symmetrisch sein. Wie kann die PT-Symmetrie in die Gruppe eingeführt werden?
Siehe: J.P. Petit und P. Midy: „Geometrisierung von Materie und Antimaterie mittels der koadjungierten Wirkung einer Gruppe auf ihren Impulsraum. 3: Geometrische Beschreibung der Diracschen Antimaterie. Erste geometrische Deutung der Antimaterie nach Feynman und des sogenannten CPT-Theorems“. Geometrische Physik B, 3, 1998.
Die anschließende Modifikation der Gruppe lautet:
(388)
…Sie wird zu einer Achtkomponenten-Gruppe, da der orthochrone Teil der Lorentz-Gruppe zwei zusammenhängende Komponenten besitzt, sodass 2 × 2 × 2 = 8.
Das bedeutet, dass wir die antichronen Elemente hinzufügen:
(389)
Oben: Wir fügen die antichronen Elemente zur Gruppe hinzu.
Unten: Wir fügen den entsprechenden Halbsektor des Impulsraums hinzu, der Bewegungen mit negativer Energie entspricht.
Kurz gesagt: Wir erweitern den Wirkungsbereich, der nun lautet:
(390)
Auf (388) sehen wir, dass die Elemente mit (m = –1) Raumzeit umkehren, die PT-Symmetrie realisieren und entsprechen:
(391) Lst = – Ln Lt = – Ls
Wir erhalten folgende Symmetrien im Impulsraum:
(392)
Die Berechnung der koadjungierten Wirkung der Gruppe (388) auf ihren Impulsraum führt zu:
(393)
…Es wird nun leicht möglich, die Wirkung jeder Komponente auf Impuls und Bewegung zu untersuchen. Wir betrachten eine Referenzbewegung und einen Referenzimpuls J+1, die der positiven Energie-Materie entsprechen (die Wirkung auf Photonen mit positiver Energie wird später analysiert). Der Sektor der Gruppe, in dem das Element gewählt wird, wird grau markiert.
Anschließend die Bewegungen der gewöhnlichen Materie.
l = +1, m = +1
l m = +1
Die Ladungen bleiben unverändert. Die Bewegung M2 entspricht materieller, orthochroner Teilchen mit positiver Masse (E > 0).
(394)
Bewegungen der gewöhnlichen Materie. Wirkung der orthochronen Elemente der Gruppe mit l = 1. Ladungen unverändert. (395)
Koadjungierte Wirkung eines Elements der Gruppe (l = –1; m = +1) auf den Impuls, der der Bewegung gewöhnlicher Materie zugeordnet ist: Die neue Bewegung entspricht der Diracschen Antimaterie.
…Das Element wird im grauen Sektor gewählt. Es handelt sich um ein „Antielment“, das Materie in Antimaterie verwandelt: l = –1 kehrt die Vorzeichen der zusätzlichen Dimensionen um, was unserer geometrischen Definition der Antimaterie entspricht.
Originalversion (englisch)
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Geometric description of Dirac's anti-matter.
...We see that** **l = - 1 changes the signs of the ci 's , which corresponds to a charge conjugation , a C-symmetry.
This groups gives a geometrical description of anti-matter after Dirac ( positive energy, positive mass anti-matter ).
...Of course the C-symmetry does not change the photon, for all its charges are basically zero. It identifies with its own antiparticle.
Geometric description of Feynmann's anti-matter.
...This one is supposed to be PT-symmetrical. How to introduce the PT-symmetry in the group ?
See : J.P.Petit and P.Midy : " Geometrization of matter and anti-matter through coadjoint action of a group on its momentum space. 3 : Geometrical description of Dirac's anti-matter. A first geometrical interpretation of anti-matter after Feynmann and so-called CPT-theorem". Geometrical Physics B, 3 , 1998.
The subsequent modification of the group is the following :
(388)
...It becomes an eight components group, for the orthochron part of Lorentz has two connex components, so that 2 x 2 x 2 = 8.
It means that we add the antichron elements :
(389)
Above : we add the antichron elements to the group.
Below : we add the corresponding half sector of the momentum space corresponding to negative energy movements.
In a word : we extend the playing field, which becomes :
(390)
On (388) we see that ( m = - 1 ) elements reverse space-time, achieve PT-symmetry and correspond to :
(391) Lst = - Ln Lt = - Ls
We have the following symmetries in the momentum space :
(392)
The calculation of the coadjoint action of the group (388) on its momentum gives :
(393)
...It becomes easy to examine the impact of each component on momentum and movement. We shall consider a reference movement and momentum J+1 , refering to positive energy matter ( the impact on positive energy photons will be analysed in a second step ). The sector of the group in which the element is chose will be grey.
Next, the movements of ordinary matter.
l = +1 m = +1
l m = +1
The charges are unchanged. The movement M2 refers to (E>0), positive mass, orthochron matter.
(394)
Movements of ordinary matter. Action of orthochron elements of the group, with l = 1. Charges unchanged. (395)
**Coadjoint action of a ( **l = -1 ; m = 1 ) element of the group on the momentum associated to the movement of normal matter : the new movement corresponds to Dirac's anti-matter.
...The elements is picked in the grey sector. It corresponds to an "anti-element", which transform matter into anti-matter : l = - 1 reverse the signs of the additional dimensions, which is our geometrical definition on antimatter.