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3 - Drittes Axiom der
Gruppentheorie:
Jedes Element der Gruppe
muss sein Inverses besitzen, geschrieben g-1, definiert durch:
(15)
g
x g-1 = g-1
x g = 1
In unserem Beispiel:
(16)
d.h.: b
= - a oder:
(17)
g-1
( a ) = g ( - a )
Hier ist die Berechnung
der inversen Matrix trivial.
Was ist die Bedingung
dafür, dass eine gegebene quadratische Matrix ihre Inverse besitzt?
...Jeder
quadratischen Matrix können wir einen Skalar zuordnen, genannt Determinante. Zur
Definition siehe jedes Buch, das der linearen Rechnung gewidmet ist. Diese Determinante
wird kodifiziert: det ( g )
Außerdem haben wir einen
allgemeinen Satz:
det (g1
x g2)
= det (g1 )
x det (g1 )
Die Determinante einer
Diagonalmatrix ist:
(18)
Folglich:
det ( 1 ) = 1
denn 1 ist eine Diagonalmatrix.
Aus der Definition der
Inversen einer Matrix:
g
x g-1 = g-1
x g = 1
Dann:
(19)
det ( g
x g-1 ) = det (g)
x det (g-1 ) = 1
...Wenn
det (g) = 0, kann die Bedingung (19) nicht erfüllt werden. Mengen von Matrizen,
deren besondere Elemente eine verschwindende Determinante besitzen, erfüllen nicht das dritte Axiom
und können keine Gruppe bilden.
Übrigens:
(20)
4 - Viertes Axiom
der Gruppentheorie:
Die Multiplikation muss
assoziativ sein, d.h.: .
(21)
( g1
x g2
) x g3
=g1
x ( g2
x g3 )
Die Matrixmultiplikation
ist grundsätzlich assoziativ.
Dimension einer Gruppe:
...Wie
wir sehen werden, kann eine Gruppe auf einen Raum wirken, dessen Punkte durch Spaltenvektoren beschrieben werden.
Zum Beispiel Raum-Zeit-Punkte (genannt "Ereignisse"):
(22)
...Dies
ist ein vierdimensionaler Raum. Verschiedene Gruppen können auf ihn wirken. Aber die Dimension
einer Gruppe hat nichts mit der Dimension des Raumes zu tun, auf den sie wirkt.
Die Dimension einer
Gruppe (von Matrizen) ist die Anzahl
der Parameter, die diese quadratische Matrix definieren.
Wir haben ein Beispiel
von Matrizen gegeben, definiert durch einen einzigen Parameter
a
Sodass die Dimension
dieser Gruppe eins ist.
Beachten Sie:
(22-bis)
Anmerkung:
Nicht alle Gruppen von Matrizen
sind kommutativ, obwohl die von uns untersuchte Gruppe diese Eigenschaft besitzt
:
(23)
Wenn eine solche Gruppe auf einen
Spaltenvektor wirkt, der einem 2D-Raum entspricht:
(23 bis)
entspricht dies einer Drehung um einen festen Punkt in einer Ebene:
(23 ter)
Diese Operation ist offensichtlich
kommutativ.
Sie werden dazu neigen zu sagen
: "wie alle Drehungsgruppen".
...Sie
irren sich. Betrachten Sie die Drehungen um Achsen, die durch einen gegebenen Punkt O verlaufen. Kombinieren
Sie zwei aufeinanderfolgende Drehungen um verschiedene Achsen. Dies ist nicht kommutativ.
Übung: Zeigen Sie, dass unter Verwendung des orthogonalen Achsensystems (OX, OY, OZ) kombinierte
Drehungen um diese Achsen keine kommutative Operation sind. Nehmen Sie einen beliebigen Gegenstand.
- Führen Sie eine Drehung +90°
um OX aus, dann eine Drehung +90° um OZ
Kehren Sie zu den Ausgangsbedingungen
zurück und:
- Führen Sie eine Drehung +90°
um OZ aus, dann eine Drehung +90° um OX
Vergleichen Sie die Ergebnisse.
Wirkung einer Gruppe.
...Eine
Gruppe G besteht aus quadratischen Matrizen g. Sie können multipliziert werden.
Wir werden sagen, dass eine Gruppe auf sich selbst wirken kann.
Die Gruppe kann auch auf einen Raum wirken, der aus Punkten besteht, die durch Spaltenvektoren
beschrieben werden. Beispiel:
(24)
Wenn wir schreiben:
(25)
wird die Wirkung der Gruppe
auf diesen Raum zu:
(26)
g
x r
...In
diesem besonderen Fall identifiziert sich die Wirkung auf den Raum mit der einfachen Matrixmultiplikation.
Aber der Begriff einer Wirkung ist viel allgemeiner.
