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Die Galilei-Gruppen
(raumzeitlich orientierte und vollständige Gruppe).
Wir können verschiedene
Namen für diese Gruppe vorschlagen.
GGSOTO
(Galileo space oriented and time oriented)
oder:
GSG (Spezielle
Galilei-Gruppe).
Oder einfach:
SG(3,1): Spezielle Galilei-Gruppe.
3 Raumdimensionen,
1 für die Zeit. Erinnern wir uns daran, dass wir die Wirkung der PT-Gruppe wie folgt schrieben:
(158)
Dann wechselten wir zu einer
raum- und zeitorientierten Gruppe. Wir könnten die Wirkung einer solchen
Gruppe ähnlich schreiben:
(159)
Dies ist eine Untergruppe
einer feineren:
(160)
Die „raum- und zeitorientierte
Galilei-Gruppe“. Mit:
(161)
Die entsprechende Wirkung
ist:
(162)
Dies ist eine zusammenhängende
(konnexe) Gruppe mit einer Komponente. Sie ist eine Untergruppe der vollständigen,
vierkomponentigen Galilei-Gruppe:
(163)
welche die P-, T- und
PT-Symmetrien bestimmt:
(164)
und wirft auch das Problem der Antichron-Objekte auf (wie es später, aber
auf relativistischer Grundlage, behandelt wird).
Bewegungen.
4D-geometrische Objekte
sind „animierte Hologramme“. In der 4D-Struktur können wir Schnitte zu
aufeinanderfolgenden Zeitpunkten vornehmen. Jeder Schnitt ist ein 3D-Objekt,
bestehend aus
(xi,yi,zi)
Punkten. Es ist einfacher,
wenn wir einen punktförmigen Körper betrachten, der sich durch die Raumzeit
bewegt. Dann wird die betrachtete Raumzeitstruktur zu einer Bahn, einer Bewegung.
...Wir
beschließen, die Teilchen der Physik mit Punktbewegungen gleichzusetzen. Entweder
sind es „Massenpunkte“ oder punktuelle Energie (Photonen, Neutrinos).
...Wir
können alle möglichen Bewegungen aller möglichen Teilchen betrachten und sie
in einen
(165)
Bewegungsraum einbeziehen.
...In
der Raumzeit finden wir alle möglichen Bahnen von Photonen, Protonen, Neutronen,
Neutrinos, Antiprotonen usw. Wir betrachten eine unendliche Anzahl möglicher
Positionen, Geschwindigkeiten und anderer Parameter, die noch zu entdecken sind.
Unter dieser Unendlichkeit von Bahnen sind die Bahnen, die sich auf ein bestimmtes
Teilchen beziehen: ein Elektron zum Beispiel. Andere Bahnen beziehen sich auf
Photonen. Sie sind unterschiedlich. Sie bilden zwei verschiedene Familien, zwei
verschiedene Arten
von Bewegungen.
Wir suchen nach einer
Klassifikation der Teilchen. Dann suchen wir nach einer Definition der Bewegungsarten.
Wir werden eine Methode
verwenden, die der Euklids ähnelt. Die zentrale Frage lautet:
Welche
„Objekte“ gehören zur selben Art?
...Antwort:
Diejenigen, die durch die Wirkung von Elementen einer Gruppe, die zu einer
sogenannten Regelmäßigkeit solcher Objekte gehört, ineinander überführt
werden können.
...In
Euklids Welt kann man eine Kugel nicht in einen Würfel verwandeln und umgekehrt.
Sie gehören zu verschiedenen Arten. Es gibt keine Untergruppe, die eine
Transformation von Kugeln in Würfel und umgekehrt ermöglicht.
...Ebenso
gibt es in einer noch zu definierenden Gruppe kein Element, das zu einer
Untergruppe gehört und die Bewegung eines Photons in die Bewegung eines
Elektrons überführt. Sie sind grundlegend verschieden, sie gehören zu
verschiedenen Arten.
Wenn es ein Element
der Gruppe gibt, dessen Wirkung eine Bewegung in eine andere Bewegung
überführt, dann beziehen sich diese Bewegungen auf dieselbe Art. Es sind
zwei verschiedene Bewegungen desselben Teilchens.
...Wir
werden uns nicht mit Vielteilchensystemen wie Atomen oder Molekülen befassen.
Wir konzentrieren uns auf die Analyse freier Teilchen, die sich durch einen
leeren Raum bewegen. Während dieses Fluges bleiben eine bestimmte Anzahl von
Parametern erhalten (Masse, Energie, andere...).
Aber die bloße
Untersuchung der Raumzeitbahn eines Teilchens reicht nicht aus, um es zu
identifizieren und einer definierten Art zuzuordnen.
-
Ein Proton und ein
Neutron können entlang derselben Bahn mit derselben Geschwindigkeit fliegen. -
Zwei Teilchen können
derselben Bahn bei v = c folgen, aber eines kann ein Photon und das andere
ein Neutrino sein. -
Wie wir später sehen
werden, können zwei Photonen, die derselben Bahn in derselben Richtung mit
Lichtgeschwindigkeit folgen, unterschiedlich sein. Sie sind P-symmetrisch. -
Das eine besitzt
eine Rechtshändigkeit. -
Das andere eine
Linkshändigkeit.
Dies entspricht der
Polarisation des Lichts. Gehören sie zu verschiedenen Arten? Das hängt
von der gewählten Gruppe ab.
Eine Art ist relativ
zu einer gegebenen Gruppe.
Der Impuls.
...Eine
Bewegung ist eine besondere Wahl, ein Punkt im Impulsraum. Betrachten
wir Bewegungen von Arten, deren einziger Unterschied die Masse ist. Wir
nehmen zwei Arten. Ein Teilchen mit der Masse ma kann nicht in ein Teilchen
mit der Masse mb umgewandelt werden. Selbst wenn ihre Trajektorien in der
Raumzeit identisch sein können, betrachten wir sie als verschiedene Bewegungen
zweier verschiedener Arten oder:
zwei verschiedene
Arten von Bewegungen.
(166)
Der Impuls ist eine
Menge von Parametern:
J = { J1, J2, J3, ........, Jn }
Einer ist die Energie
J1 = E.
Drei weitere:
(J2 = px, J3 = py, J4 = pz)
bilden den Impulsvektor
p, Größen, die Physikern vertraut sind.
...Diese
Größen können als reine geometrische Größen auftreten, die direkt mit der
gewählten Gruppe verknüpft sind. Man wird später sehen, dass die Anzahl der
Größen, die den Impuls bilden, gleich der Dimension der Gruppe ist.
...Was
sind dann die Spielregeln, die wir befolgen werden?
