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Das Projekt.
...Unser Ausgangspunkt wird eine dynamische Gruppe G sein, d. h. eine Familie quadratischer Matrizen g.
...Dynamisch: weil die Zeit im Spiel ist.
...Diese Gruppe hat eine bestimmte Dimension n. Sie kann auf einen Raum X wirken, der seine eigene Dimension hat (die nichts mit der Dimension der Gruppe zu tun hat, wobei letztere die Anzahl der unabhängigen Parameter ist, die jede Matrix g der Menge definieren, die die Gruppe G bildet).
...Nun brauchen wir eine Wirkung, um einen Raum zu definieren, auf den die Gruppe wirkt, ihren Impulsraum. Dieser Raum ist nicht die Raumzeit, in der sich die Teilchen angeblich bewegen. Der Aufbau eines solchen Raums wird uns in ein seltsames Land führen, das wie ein schizophrenes Land aussehen wird. Aber wenn Sie diesem Weg folgen, werden Sie der physikalischen Realität näher sein als je zuvor.
...Wenn wir einen Raum zum Spielen und eine Wirkung zum Wirken haben, werden wir die Moment-Bewegungen in Arten einteilen und solche Arten mit Elementarteilchen identifizieren.
...Oben sagten wir, dass das Produkt einer Gruppe mit einem Vektor, entsprechend SO(2) und O(2) sowie SO(3) und O(3), einer Wirkung entsprach:
g x r
d. h.:
(166b)
Beachten Sie, dass wir es auf äquivalente Weise schreiben könnten:
(167)
Für die orientierte Euklidische Gruppe und die vollständige Euklidische Gruppe müssen wir eine Wirkung schreiben:
(168)
Aber diese Wirkungen sowie die entsprechenden Wirkungen dynamischer Gruppen auf den Raum, wie:
(169)
ergeben ... nichts. Sie tragen lediglich Objekte im Raum oder in der Raumzeit oder in verfeinerteren Räumen (5-dimensionaler Raum, zehndimensionaler Raum).
Wir müssen etwas suchen, das „unter der Gruppe verborgen“ ist: ihren Impulsraum (alle Matrizengruppen besitzen einen) und ihre
koadjungierte Wirkung auf ihren Impulsraum.
was der realen Physik entspricht.
Was ist Physik?
...Gute Frage. Der französische Mathematiker Jean-Marie Souriau erfand das Konzept der koadjungierten Wirkung einer Gruppe auf ihren Impulsraum und zeigte es Anfang der siebziger Jahre. Im Folgenden wird dies entwickelt.
...Natürlich wird der Physiker am Ende der Berechnung fragen:
Warum?
...Mit anderen Worten: Es funktioniert, aber können wir diesem Konzept der koadjungierten Wirkung einer dynamischen Gruppe auf ihren Impulsraum eine physikalische Bedeutung geben? Die Antwort scheint nein zu sein.
...Stellen Sie sich vor, Sie sind ein Schüler von Aristoteles. Plötzlich haben Sie eine Intuition und erfinden ein neues Wort, um sie zu benennen:
Trägheit.
...Aristoteles kommt. Er wurde von anderen Schülern gewarnt, dass Sie etwas Neues erfunden haben, und er fragt:
- Könnten Sie uns erklären, was Trägheit bedeutet?
Sie werden es mit den Worten des Aristoteles nicht können. Sie werden auf einen paradigmatischen Wandel gestoßen sein.
Springen Sie ins Mittelalter. Versuchen Sie, eine chemische Reaktion mit dem Vokabular der vier Elemente zu erklären. Auch unmöglich...
Die koadjungierte Wirkung einer Gruppe auf ihren Impulsraum ist ein paradigmatischer Wandel. Sie ist eine neue Einsicht in die Physik.
Tatsächlich handhaben Physiker ständig Gruppenwirkungen, wenn sie von „Invarianz“, „Erhaltungssätzen“ sprechen.
Ein solcher konventioneller Physiker wird fragen:
- Können Sie mir, wenn möglich in einfachen Worten, erklären, was die Bedeutung der koadjungierten Wirkung einer Gruppe auf ihren Impulsraum ist?
Wir antworten:
-
Warum verwenden Sie in der Physik Erhaltungssätze?
-
Aoh... weil es Erhaltungsgrößen gibt: Energie, Masse, elektrische Ladung...
-
Warum sind sie erhalten?
-
Aber das ist ein Grundprinzip! ...
-
Mein lieber Freund, betrachten Sie die koadjungierte Wirkung einer Gruppe auf ihren Impulsraum als ein Grundprinzip.
-
Was meinen Sie?
-
Jede Physik beruht auf einer Gruppenstruktur. Wenn Sie die Gruppe identifizieren, können Sie ihre koadjungierte Wirkung und den entsprechenden Impulsraum konstruieren. Dann sind die Komponenten des Moments die entsprechenden physikalischen Größen.
-
........
Warnung. Wenn Sie ein Physiker sind (sogar ein theoretischer Physiker...) und das Folgende lesen, werden Sie eine paradigmatische Mutation durchlaufen. Danach wird die Physik einfach... anders sein.
Wirkungen.
Was ist eine Wirkung?
Etwas, das mit einer Gruppe verbunden ist und die folgenden Axiome erfüllt:
(170)
Natürlich ist für Matrizengruppen die Kompositionsoperation:
x
(Zeilen-Spalten-Matrixmultiplikation)
Für Matrizengruppen können wir schreiben:
(171)
Betrachten Sie den Spaltenvektor:
(172)
wobei x zum Beispiel Vektoren darstellt
(173)
Passt
(174)
zu den Axiomen einer Wirkung? Seien g und g' zwei Elemente der Gruppe G.
(175)
(175b)
Wir müssen haben:
(176)
Ag( Ag'(x)) = Ag"(x)
d. h.:
(177)
unter der Assoziativitätseigenschaft:
(178)
g" = g x g'
ist eine Wirkung einer Gruppe.
...Beachten Sie, dass wir das Element g der Gruppe G auf die linke Seite gesetzt haben. Was passiert, wenn wir es auf die rechte Seite setzen? Dann muss es mit einer Zeilenmatrix y kombiniert werden.
(179)
Ag(y) = y x g
Ist es eine Wirkung?
