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Wir brauchen:
(180)
Ag
( Ag'(y)) = Ag"(y)
Ag(y)
= y x
g
Ag'(y)
= y x
g'
Ag
( Ag'(y)) = y x
g' x g
Aber:
Das Produkt zweier Matrizen
ist im Allgemeinen nicht kommutativ. Als Schlussfolgerung:
(181)
Ag(y)
= y x g
ist keine Gruppenwirkung
: Es passt nicht zu den obigen Axiomen. Aber es passt zu einer anderen, die einer
„Anti-Wirkung“ entspricht.
(182)
Für Matrizen:
(183
Wir suchen weiterhin
Wirkungen und Anti-Wirkungen. Aus dem x-Vektor können wir den transponierten
bilden und versuchen:
(184)
ist es eine Wirkung
? Gehen wir weiter.
g" = g
x g'
(185)
(186)
Hier verwenden wir einen Satz der linearen Algebra:
(187)
M -1
x N
= ( N x
M ) -1
wobei M und N
beliebige (n,n)-Matrizen sind. Daher:
(188)
g' -1
x g-1 = ( g x
g' ) -1
= g" -1
und:
(189)
was eine Gruppenwirkung
ist. Betrachten
nun:
(190)
Ag(m)
= g x mx g-1
Zeigen Sie, dass es eine Wirkung ist.
Wir betrachten die drei folgenden Matrizen.
(191)
g
g'
g" = g
x g'
Ag(m)
= g x
m x g-1
Ag'(m)
= **g'**x
m x
g' -1
Ag"(m)
= g" x
m x
g" -1
Wir brauchen:
(192)
Ag(Ag'(m))
= Ag"(m)
Bilden Sie das erste Glied:
(193)
g x (g'
x m
x g'
-1) x g-1
oder:
(194)
g x
g'x
m x
g' -1
x
g -1
d. h.:
(195)
(g x
g') x
m x ( g
x g')-1 = g" x
m x
g" -1
Es ist eine Gruppenwirkung.
Wir werden sie nach Souriau
Adjungierte Wirkung
nennen:
(193)
Wir werden nun eine Anti-Wirkung der Gruppe auf eine Matrix m betrachten.
(194)
AAg(m)
= g -1 x
m x
g
Zeigen Sie, dass sie erfüllt:
(195)
AAg'(Ag(m))
= Ag"(m)
Bilden Sie das erste Glied:
(196)
g'-1 x
(g -1 x
m x
g) x
g'
oder:
(197)
g' -1
x
g -1
x
m x
g x
g'
d. h.:
(198)
(g x
g') -1
x
m x
( g x
g')
oder:
(199)
g" -1
x
m x
g"
