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Wir brauchen:
Duale Aktionen.
Wir haben oben eine Aktion konstruiert:
(200)
eine Anti-Aktion:
(201)
Die erste kann sich auf jeden Spaltenvektor m beziehen:
(202)
m' = g xm
und die zweite auf jeden Zeilenvektor n:
(203)
n' = n
x g-1
m gehört zu einem bestimmten Raum M
n gehört zu einem anderen Raum N.
Bilde das Skalar:
(204)
S = n m
Beachte:
(205)
n' m' =
n x g-1
x g xm
...Wir werden sagen, dass die beiden betrachteten Aktionen dual sind. Ebenso sind die beiden Räume M und N, zu denen m und n gehören, duale Räume:
N = M* oder M = N*
Üblicherweise sagen wir, dass, wenn m ein Vektor ist, n sein Kovektor ist.
Das Präfix co ist typisch für die Dualität. Wie Souriau bemerkte, existiert die Dualität in der Politik, und er fügt hinzu:
- Die Dualität war im Marxismus-Leninismus von Anfang an vorhanden. Denke an den Munisten und den Kommunisten.
Nehmen wir einen anderen Standpunkt ein. Angenommen, wir haben eine Aktion, und wir wollen ihre Duale konstruieren.
Schematisch:
(206)
...Um ein Skalarprodukt mit dem Spaltenvektor m zu bilden, muss n ein Zeilenvektor sein. Dann müssen diese beiden Vektoren durch dieselbe Anzahl von Skalaren definiert werden:
(207)
dann suchen wir die duale Aktion:
(208)
n' = Ag(n)
so dass das Skalarprodukt:
(209)
invariant ist. Wir müssen haben:
(210)
n' m'
= n m
Wir haben:
(211)
m' = g
x m
(212)
Ag(n)
x g
x m
= n m
deren Lösung ist:
(213)
Ag(n)
= n x g-1
Hin zur Konstruktion der essentiellen Aktion, oder der koadjungierten Aktion einer Gruppe auf ihrem Impuls (nach Souriau).
Wir suchen eine Aktion der Gruppe auf ihrem "Impulsraum". Wir werden sie als die Duale einer Anti-Aktion konstruieren:
(214)
AAg(m)
= g-1 x
m x g
...Im vorhergehenden Abschnitt war m ein Vektor. Aber in (214) ist es eine Matrix. Wir werden eine Matrix nehmen, die von einer bestimmten Anzahl von Parametern abhängt:
{ m1 , m2 , . . . .
, mn }
Wir müssen uns eine duale Menge von Skalaren vorstellen:
{ n1 , n2 , . . . .
, nn }
so dass:
(215)
Schematisch:
(216)
