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Wahl der Matrix m.
...Eine Gruppe G kann mit einer bestimmten Fläche verglichen werden. Sie hängt von einer bestimmten Anzahl von Parametern ab. Sei P dieser Parameterraum der Gruppe und p ein Punkt dieses Raums. Die Anzahl dieser Parameter pi ist die Dimension der Gruppe.
(217)
Abgebildet: das neutrale Element e (die Einheitsmatrix 1).
Wir können ein Inkrement d p angeben:
(218)
...Dann differenzieren wir die Matrix g, die ein Element der Gruppe ist. Wir erhalten eine quadratische Matrix dg, die nicht zur Gruppe gehört. Man nennt sie den „Tangentenvektor an die Gruppe“. Diese Tangentialvektoren bilden das, was man die „Lie-Algebra“ der Gruppe nennt (was übrigens keine Algebra ist).
Wir wählen die Differentiation in der Nähe des neutralen Elements:
(219)
und wir wählen die folgende Gegenwirkung:
(220)
AAg(m) = g-1 x dg(g=e) x g
Bemerkung:
Warum wählen wir den Tangentialvektor an die Gruppe bei g = 1?
...Wir könnten einen allgemeineren Tangentialvektor dg an einem beliebigen Punkt der Gruppe verwenden. Wir würden dasselbe Ergebnis erhalten, aber die Berechnung wäre viel umständlicher.
Die Dimension der Gruppe ist n. Die Matrix g hängt von n Parametern { pi } ab.
Das Element der Lie-Algebra dg(g=e) hängt von derselben Anzahl von Parametern {d pi } ab.
Die Berechnung der obigen Gegenwirkung liefert die Abbildung:
(221)
{ d pi } -----> { d pp'i }
Wir führen dieselbe Anzahl von Skalaren ein:
{ J i }
Wir nennen diese Menge den Impuls J der Gruppe.
J = { J i }
Es ist eine Menge von n Größen, n Skalaren. Manchmal kann man sie in eine Matrix bringen (Poincarés Wirkung auf seinen Impuls).
{ J i } ist der Kotangentenvektor { d p i } zum Tangentialvektor der Gruppe. Die Dualität liefert:
(222)
Aus dieser Erhaltung des Skalarprodukts folgt, dass wir, wenn wir die Abbildung kennen:
(223)
{ d p i } -----> { d p' i }
die duale Abbildung konstruieren können:
(224)
{ J i } -----> { J 'i }
Dies ist die wesentliche Wirkung, die wir suchen, und Souriau nennt sie die koadjunkte Wirkung der Gruppe auf ihren Impulsraum.
Der beste Weg, dieses Konzept zu veranschaulichen, ist ein Beispiel:
Koadjunkte Wirkung der Poincaré-Gruppe auf ihren Impulsraum Jp.
Oben haben wir die verallgemeinerte Lorentz-Gruppe vorgestellt. Durch die Wahl:
(225)
erhalten wir die Lorentz-Gruppe L, deren Element L der axiomatischen Definition gehorcht:
(226)
Der Raumzeit-Vektor ist
(227)
Mit c = 1 erhalten wir die elementare quadratische Form, die Minkowski-Metrik:
(228)
Die inverse Matrix ist
(229)
Führen wir nun eine Raumzeit-Translation ein:
(230)
so bauen wir das Element gp der Poincaré-Gruppe Gp wie folgt auf:
(231)
Übung: Zeigen Sie, dass es eine Gruppe bildet, und berechnen Sie die inverse Matrix:
(232)
Das Element der Lie-Algebra ist
(233)
und die Gegenwirkung:
(234)
dgp' = gp-1 x dgp x gp
Wir bemerken, dass
(235)
G d L
eine antisymmetrische Matrix ist. Nennen wir sie:
(236)
woraus folgt:
(237)
Sei:
(238)
Daraus können wir die Gegenwirkung aufbauen:
(239)
dgp' = gp-1 x dgp x gp
die uns die Abbildung liefert:
(240)
(240b)
(240c)
ist die gesuchte Abbildung:
(241)
