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...Ein
Element gp der Poincaré-Gruppe Gp ist
durch eine Menge von Parametern {pi} definiert, deren
Anzahl per Definition die Dimension der Gruppe ist. Die Matrix dg
(g=e) wird aus der Menge {dpi}
gebildet. Damit die vorhergehende Abbildung der Anti-Wirkung entspricht:
(242)
AA : {dpi}
--> {dpi'}
Um die Dualität einzuführen
und die duale Abbildung zu konstruieren, nehmen wir die Konstanz des Skalars an:
(243)
Die Dimension der
Poincaré-Gruppe ist 10, woraus wir zehn Skalare { Ji
} haben, Komponenten des Moments Jp.
Jp
= { J1 , J2 , J3 , J4 , J5
, J6 , J7 , J8 , J9 , J10
}
Wir beschließen, dies
in zwei Objekte aufzuteilen:
(244)
Jp= { M , P }
Das erste, M,
ist eine (4,4) antisymmetrische Matrix.
P ist der Vierervektor
(4,1)
(245)
Dann:
(246)
Jp=
{ M , P } = { M , p , E}
Schreibe das Skalarprodukt
als:
(247)
Tr bedeutet Spur. Die Konstanz
des Skalarprodukts ergibt
(248)
mit:
(249)
(249b)
(249c)
aber GG = 1.
Dann:
(250)
(250b)
(251)
d.h.:
(252)
(252b)
(252c)
(253)
Diese koadjungierte Wirkung kann in eine Matrixform gebracht werden:
Das Element der
Poincaré-Gruppe ist:
(254)
Seine Transponierte ist:
(255)
Betrachte die Matrix:
(256)
schreibe:
(257)
(258)
(259)
was mit der Matrix identifiziert
wird:
(260)
Dann ist Jp
der Impuls der Poincaré-Gruppe, in eine Matrix gebracht, und die
koadjungierte Wirkung ist:
(261)
Übung: prüfe, dass dies
eine Wirkung ist.
Die Impulsmatrix
entspricht:
(262)
Die Diagonale einer antisymmetrischen
Matrix M besteht aus Nullen.
(263)
Sie hängt von sechs Parametern ab.
(264)
( lx , ly
, lz , fx , fy , fz )
Schreiben wir die Matrix:
(265)
Die letzten drei Komponenten
( fx , fy , fz) bilden das, was Souriau den
Passage-Vektor f nennt:
(266)
Die ersten ( lx
, ly , lz) sind die unabhängigen Komponenten einer antisymmetrischen
Matrix (3,3), die Souriau die Spin-Matrix nennt.
(267)
woraus:
(268)
Der Vektor P ist
der Impuls-Energie-Vierervektor:
(269)
Dann kann der Impuls der
Poincaré-Gruppe in seiner allgemeinsten Form explizit angegeben werden:
(270)
Er besitzt zehn Komponenten:
(271)
Jp
= { E , px ,py , pz , fx ,fy
, fz , fx ,fy , fz } = { E**, p , f , l** }
