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Teilchen mit Spin.
...Die Poincaré-Gruppe beschreibt die relativistische Bewegung eines punktförmigen Objekts. Analog beschreibt die Bargmann-Gruppe die nicht-relativistische Bewegung. Die Komponenten des Impulses ergeben sich als rein geometrische Größen. Es handelt sich um eine Geometrisierung der Physik.
Physiker sind mit der Energie E und dem Impulsvektor p vertraut. Sie könnten jedoch über die beiden anderen Objekte etwas verwundert sein: den Durchgang f und den Spinvektor l. Die Form der Impulskomponenten hängt von der Wahl der Koordinaten ab.
...Jede dynamische Gruppe besitzt ihren eigenen Impulsraum und die koadjunkte Wirkung auf diesem Impulsraum. Hätten wir anstelle der relativistischen Welt (Poincaré-Gruppe) zunächst die nicht-relativistische Welt gewählt, müssten wir uns auf die Bargmann-Gruppe beziehen. Für rechnerische Details siehe meine Vorlesungen über Gruppen.
Die Bargmann-Gruppe ist eine nicht-triviale Erweiterung der Galilei-Gruppe:
(272)
Wie der Leser sehen kann, wirkt diese Gruppe auf einem fünfdimensionalen Raum:
r : Raum
t : Zeit
z : eine zusätzliche Variable.
...Diese Fragen nach zusätzlichen Variablen werden später behandelt. Auf dieser Website wurde oben die vollständige Berechnung der koadjunkten Wirkung der Poincaré-Gruppe angegeben. Man könnte auch die Berechnung der koadjunkten Wirkung der Bargmann-Gruppe auf ihren Impuls ableiten. Paradoxerweise ist die Berechnung in der nicht-relativistischen Welt etwas komplizierter als die in der relativistischen Welt.
Das Ergebnis ist das folgende:
(273)
Der Physiker identifiziert einige vertraute Objekte, wie die Geschwindigkeit:
(274)
und die kinetische Energie:
(275)
m v ist der Impuls.
Geschwindigkeit relativ zu was?
Eine Gruppe ändert die Parameter der Bewegung, verleiht einem Teilchen eine Geschwindigkeit v und eine kinetische Energie E.
Wir können die gegenteilige Interpretation wählen und betrachten, dass eine Gruppe ein bestimmter Blickwinkel auf etwas, auf ein Teilchen, ist.
Wenn wir die Gruppe SO(3) betrachten, die Matrizen a, bedeutet dies „unter einem anderen Blickwinkel gesehen“.
Wenn wir die Gruppe O(3) betrachten, die Matrizen a, kommt die Möglichkeit hinzu, das „Ding“ durch einen Spiegel zu beobachten.
Der Translationsvektor
(276)
der Euklid-Gruppe fügt „von einem anderen Ort aus gesehen“ hinzu.
In dynamischen Gruppen bedeutet die Anwesenheit einer Geschwindigkeit v in der Gruppe, dass sich der Beobachter bewegt.
Die Zeitverschiebung e = Dt bedeutet, dass der Beobachter das Ding nach einer gewissen Verzögerung sieht.
Der Translationsvektor Dr und die Zeitverzögerung Dt können zu einem Raum-Zeit-Translationsvektor zusammengefasst werden:
(277)
Betrachten wir die Formeln der Bargmann-Gruppe, so sehen wir, dass:
m' = m
Unabhängig vom Blickwinkel bleibt die Masse unverändert.
Vereinfachen wir diesen „Blickwinkel“ ein wenig, indem wir a = 1 wählen.
Die koadjunkte Wirkung wird zu:
(278)
...Die koadjunkte Wirkung zeigt die Änderung der Bewegungsparameter an. Wenn wir davon ausgehen, dass wir von einer stationären Situation zu einer nicht-stationären Situation übergehen, entsprechen die Anfangsbedingungen:
E = 0 (Nullenergie)
p = 0 (Nullimpuls, Nullgeschwindigkeit)
„Durchgang“ f = 0
Dann ergibt die koadjunkte Wirkung:
(279)
„Betrachten“ muss in seiner etymologischen Bedeutung gelesen werden.
Ein Gerichtsvollzieher sagt:
- Erstellung eines Berichts samt Inventar.
...Eine statische (v = 0) Sicht der Dinge entspricht der Euklid-Gruppe. Der Gerichtsvollzieher beobachtet die Dinge aus der Entfernung c. Er beobachtet Fakten zum Zeitpunkt ihres Eintretens (Dt = 0). Gegebenenfalls blickt er aus einem bestimmten Winkel (a ungleich 1).
...Ein General, der über einem Schlachtfeld in einem Flugzeug fliegt, ist eine Art Gerichtsvollzieher, der die Dinge aus einem bewegten Blickwinkel beobachtet (aus einem mit Geschwindigkeit v fliegenden Flugzeug).
...Aber ein General, der in seinem Hauptquartier einen Film ansieht, der Stunden zuvor von einem unbemannten Flugzeug, einer Drohne, aufgenommen wurde, sagt:
- Das Ziel betrachten, wie es eine Stunde zuvor war (nicht Null Dt), gesehen von einem bewegten Beobachtungspunkt (nicht Null v), aus einer Höhe von fünftausend Fuß (nicht Null c), fliegend mit Geschwindigkeit v und Aufnahmen aus einem bestimmten Winkel machend (a ungleich 1).
...Ein Ziel hat keine definierte Geschwindigkeit, Position oder Orientierung, selbst wenn es sich um ein „festes“ Gebäude handelt. Alles ist relativ. Selbst die Erde, die Sonne und unsere Galaxie bewegen sich durch den Raum.
...Der „Nordpol“ der Erde unterscheidet sich vom „Nordpol der Sonne“ um 23°, und er ändert sich mit der Zeit (26.000 Jahre) aufgrund der Präzession der Tagundnachtgleichen. Der von der Sonne angezeigte Norden (ihre eigene Rotationsachse) ist nicht der von unserer Galaxie, der Milchstraße, angezeigte Norden, die ihre eigene Drehbewegung hat (90°-Abweichung). Selbst eine Galaxie bewegt sich mit dreihundert Meilen pro Stunde. Relativ zu was? Zu den anderen. Das ist alles, was wir sagen können.
Die Gruppe entspricht zwei verschiedenen Blickwinkeln.
...Wenn ich davon ausgehe, dass das Objekt stationär ist, im Raum und in der Zeit fixiert ist und keine Drehbewegung besitzt, kann ich nur Folgendes sagen:
- Wenn ich mich in die Entfernung c bewege.
- Wenn ich das Ding beobachte, während ich mich mit Geschwindigkeit v bewege.
- Wenn die Information, die von diesem Ding kommt, mich mit einer Zeitverzögerung Dt erreicht.
Relativ zu mir:
---> Die Masse des Objekts wird nicht verändert.
----> Ich gebe dem Objekt einen Impuls mv, der als scheinbar betrachtet wird.
-----> Das Objekt erhält einen „Durchgang“ f = m [ c - v Dt ]
----> Es erhält einen Spin
(279b)
Schreiben wir dies expliziter:
(280)
(281)
(282)
oder:
(283)
Man kann die drei unabhängigen Komponenten der Spinmatrix l als Komponenten eines Vektors betrachten:
(283b)
...Obwohl das Vektorprodukt in unserem Raum nicht definiert wurde, d. h. wir haben dem Raum keine Rechts-Links-Orientierung gegeben, können wir den letzten Ausdruck als Vektorprodukt betrachten.
(284)
...Das umgekehrte v kennzeichnet das Vektorprodukt. Wir sehen, dass die letzte Zeile der Formeln, die die koadjunkte Wirkung angeben, entspricht:
(285)
l ist eine Matrix, kein Vektor. Aber gemäß der gewählten Notation kennzeichnen Fettdruckbuchstaben gleichgültig eine Matrix oder einen Vektor.
Dieser Vektor beginnt, dem Physiker etwas Vertrautes zu ähneln: den kinetischen Impuls.
