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Die spezielle Galilei-Gruppe.
...Der Leser findet diese Erweiterung in Souriaus Buch: Structure of Dynamical Systems, Birkhäuser Ed. 1997 und, auf Französisch, Structure des Systèmes Dynamiques, Ed. Dunod 1973.
...Eine Gruppe kann erweitert werden. Das bedeutet, dass die Anzahl der Parameter, von denen sie abhängt, erhöht wird. Berechnen Sie die Anzahl der Parameter, von denen die Galilei-Gruppe abhängt. Wir beginnen mit der Rotationsmatrix im 3D-Raum:
(322)
Dies ist eine orthogonale Matrix:
(323)
Diese Matrizen bilden die Gruppe SO(3), eine Untergruppe der Gruppe O(3), die aus allen orthogonalen Matrizen besteht. Es gilt:
(324)
Erinnern Sie sich an den Unterschied zu:
(325)
(325b)
Dies sind die allgemeinsten orthogonalen Matrizen, deren Determinanten folgender Bedingung gehorchen:
(326)
Ende dieser Klammer.
Die nächste Gruppe quadratischer Matrizen (5,5) wird die spezielle Galilei-Gruppe genannt:
(327)
Die Rotationsmatrix hängt von drei freien Parametern ab, den Euler-Winkeln. Daher beträgt die Dimension der Gruppe zehn.
Unter Verwendung der Notationen:
(328)
erhält man:
(329)
Zugeordnet zum Raum-Zeit-Vektor:
(330)
ist die entsprechende Wirkung der speziellen Galilei-Gruppe:
(331)
...Gegeben die spezielle Galilei-Gruppe, ist es möglich, die Wirkung der Gruppe auf ihrem Impulsraum zu berechnen. Die Berechnung wird hier nicht angegeben. Der Leser kann sie in meinen verfügbaren Vorlesungen über Gruppen finden.
Wir geben das Ergebnis an:
(332)
Wir erkennen den Impuls p und die Energie E. Der Impuls setzt sich zusammen aus:
(333)
JSG = { E , p , f , l }
...Zehn skalare Größen. Zehn Dimensionen für die Gruppe. Wir haben weiterhin den Übergangsvektor f und die antisymmetrische Spin-Matrix l (bestehend aus drei unabhängigen Komponenten lx , ly , lz , die den „Spin-Vektor“ bilden).
Die triviale Erweiterung der speziellen Galilei-Gruppe.
Die folgenden Matrizen bilden eine neue Gruppe.
(334)
Sie führt eine neue Komponente f ein, einen Skalar, die „Phase“ (verbunden mit der Quantenwelt). Die Dimension der Gruppe wird zu
10 + 1 = 11
Diese neue Gruppe wirkt auf einem fünf-dimensionalen Raum:
(335)
z ist eine „zusätzliche Dimension“. Sie wurde erstmals 1921 vom Polen Kaluza und dann 1964 von J.M. Souriau eingeführt (Géométrie et relativité, Hermann Editeur, nicht ins Englische übersetzt).
Auch hier kann die entsprechende koadjunkte Wirkung der Gruppe auf ihrem Impulsraum berechnet werden. Wir erhalten dies:
(336)
Der Impuls wird zu:
(337)
JTESG = { m , E , p , f , l }
...Wir haben einen weiteren Skalar m und identifizieren ihn mit der Masse. Wir sehen, dass die spezielle Galilei-Gruppe, die auf der Raum-Zeit wirkt, die Energie, aber nicht die Masse als Komponente des Impulses liefert. Zur gegenwärtigen Zeit (durch triviale Erweiterung) erhält unser Teilchen ein zusätzliches Attribut, das sehr willkürlich mit der Masse identifiziert wird und nicht mit den anderen Komponenten des Impulses wechselwirkt.
