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Nichttriviale Erweiterung
der speziellen Galilei-Gruppe.
Die Bargmann-Gruppe ( 1960 )
Die folgenden Matrizen
( siehe meine Vorlesungen über Gruppen )
(338)
bilden eine Gruppe, die 1960 von Bargmann entdeckt wurde. Auch hier wirkt sie auf einem fünfdimensionalen
Raum. Ihre Dimension ist 11, aufgrund der Anwesenheit des Skalars f . Es ist eine nichttriviale
Erweiterung der speziellen Galilei-Gruppe.
(339)
Berechnet man die koadjungierte
Wirkung der Gruppe auf ihren Impuls, so erhält man :
(340)
...Wir
sehen, dass diese koadjungierte Wirkung feiner ist und dass die Masse mit
den anderen Komponenten des Moments wechselwirkt. Wir haben das oben analysiert und gezeigt,
wie es die physikalische Bedeutung der Komponenten des Impulses hervorbringt.
...Ein
Impuls ist eine Bewegung eines gegebenen Teilchens. Die Bargmann-Gruppe beschreibt
nichtrelativistische Bewegungen. Wir können ein Teilchen in Ruhe betrachten, ohne Energie,
ohne Impuls, ohne Spin. Nur eine von Null verschiedene Masse :
m
p = 0
E = 0
f = 0
l = 0
Wir verwenden das folgende
Element der Bargmann-Gruppe :
(341)
Die Komponenten des Impulses werden :
(342)
...In
einem an das Teilchen gebundenen Koordinatensystem ist der Übergang f weiterhin
null. Wir haben gezeigt, dass sich die Spinmatrix mit dem kinetischen Moment identifiziert.
...Hier
ist wichtig, die triviale Erweiterung der speziellen Galilei-Gruppe zu betrachten (warum "speziell" ? Das wird später erklärt). Wenn
man diese triviale Erweiterung durchführt, bringt sie einfach einen zusätzlichen Skalar zum
Impuls.
Erweitern wir die
Poincaré-Gruppe :
Zentrale Erweiterung
der Poincaré-Gruppe.
(343)
"ep" bedeutet "erweiterte Poincaré-Gruppe". Lo ist das
Element der orthochronen Untergruppe Lo der vollständigen Lorentz-Gruppe
L. So dass wir das obige Element als die orthochrone Untergruppe
Gepo einer vollständigen erweiterten Poincaré-Gruppe betrachten können, deren Element ist :
(344)
Die beiden wirken auf dem fünfdimensionalen
Raum :
(345)
( t , x , y , z , z
).
Man kann zeigen, dass diese
Erweiterung keine von Null verschiedenen Terme in der ersten Zeile enthalten kann, statt 0
= ( 0 0 0) , zwischen 1 und f .
...Wie
von J.M.Souriau gezeigt, bringt die geometrische Quantifizierungsmethode (Kostant-Kirilov-Souriau-Methode)
die Schrödinger-Gleichung aus der Bargmann-Gruppe und
die Klein-Gordon-Gleichung aus der erweiterten Poincaré-Gruppe hervor ( Structure
des Systèmes Dynamiques, Dunod Ed. 1972 ). Zusätzlich fügt diese zentrale
Erweiterung der Gruppe einen zusätzlichen Skalar zum Impuls hinzu (wie in der trivialen
Erweiterung der Bargmann-Gruppe) :
(346)
Jep=
{ c , M , P } = { c , Jp }
Jp repräsentiert
den klassischen Poincaré-Impuls. Dann wird die koadjungierte Wirkung
des Impulses einfach :
(347)
Die Berechnung ist nicht
kompliziert und ähnelt der oben dargestellten. Man berechnet die Anti-Wirkung
:
(348)
Dann wird die Dualität
durch die Konstanz des folgenden Skalars ausgedrückt :
(349)
...So
dass wir einen zusätzlichen Skalar c erhalten, der durch die koadjungierte
Wirkung einfach erhalten bleibt. Da dieser Skalar bisher keine physikalische Interpretation erhalten hat. Wir
werden all das im Folgenden aufklären. Offensichtlich
können wir die Gruppe so oft erweitern, wie wir wollen :
(350)
Jedes Mal fügt sie einen
zusätzlichen Skalar hinzu
(351)
Jpe
= { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P }
Jpe
= { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp }
und die koadjungierte Wirkung
wird :
(352)
Der Leser wird sagen "na ja,
warum fügen wir nicht 57 neue Skalare hinzu ? "
Fügen wir einfach sechs hinzu und identifizieren
diese neuen Skalare mit
(353)
c 1 = q (elektrische
Ladung)
c 2 = cB (baryonische
Ladung)
c 3 = cL (leptonische
Ladung)
c 4 = cm (myonische
Ladung)
c 5 = ct (tauonische
Ladung)
c 6 = v (gyromagnetischer
Koeffizient)
Die Gruppe wirkt auf dem folgenden zehndimensionalen Raum :
(354)
( x , y , z , t , z
1 , z 2 , z3 , z 4
, z 5 , z6 )
d.h. : Raum-Zeit plus
sechs zusätzliche Dimensionen.
(355)
Erinnern wir uns, dass diese Gruppe
mit der orthochronen Untergruppe
Lo = Ln(neutrale Komponente) U Ls (erreicht die Rauminversion)
der vollständigen Lorentz-Gruppe L
aufgebaut ist.
Der Impuls wird
:
(356)
Jpe
= { q , cB , cL , cm , ct ,
v , Jp }
Jp
ist der Teil des Moments, der der Poincaré-Gruppe
Gop (orthochrone Untergruppe) entspricht.
Was ist die physikalische
Bedeutung ?
...Ein
Impuls gehört zu einem Raum, der eine n-Mannigfaltigkeit ist. Die Poincaré-Gruppe
besitzt zehn Dimensionen, so dass der Poincaré-Gruppen-Impuls aus zehn Größen
zusammengesetzt ist.
Dann
fügen wir der Gruppe sechs weitere Dimensionen hinzu, entsprechend den zusätzlichen Phasen
:
(357)
f1 ,f2
,f3 ,f3 ,f5 ,f5
Der Impuls wird
:
(358)
Jpe
= { J1, J2 J3, J4, J5,
J6, J7, J8, J9, J10,
J11, J12, J13, J14, J15,
J16 }
Wir entscheiden, dass unter einer
Menge von Skalaren
(359)
Jp
= { J7, J8, J9, J10, J11,
J12, J13, J14, J15, J16
}
wir die Energie
E, den Impuls p, den Übergang f , die antisymmetrische Spinmatrix
l identifizieren.
...E
und p können alle möglichen Werte annehmen, aber Quantenargumente erzwingen die
Konstanz des Moduls s des Spinvektors (in einem an das Teilchen gebundenen Koordinatensystem), was hier nicht gerechtfertigt ist und Souriaus
Arbeit entspricht.
Wir haben sechs weitere Skalare
:
(360)
J1, J2
J3, J4, J5, J6
...Wir
entscheiden, dass unter einer Unendlichkeit möglicher Wahlen einige diskrete Wahlen
realen Teilchen (und Antiteilchen) entsprechen. Dann wählen wir in der 16-Mannigfaltigkeit,
die dem Impulsraum entspricht, diskrete Bewegungen aus, die
Teilchen mit definierten Quantenzahlen entsprechen
(361)
{ q , cB ,
cL , cm , ct , v }
...Vorerst
gewährleistet die koadjungierte Wirkung der Gruppe einfach die Erhaltung
dieser Größen entlang gegebener Bewegungen. Es gibt "passive Quantenzahlen"
sowie die Masse als passive Größe erschien, als sie aus der
trivialen Erweiterung der speziellen Galilei-Gruppe hervorging.
