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3 - Drittes Gruppenaxiom: Jedes Element muss ein Inverses besitzen, bezeichnet mit g-1, definiert durch:
g x g-1
= g-1 x g = 1
In unserem Beispiel lautet dies:
das heißt b = - a oder:
g-1 ( a ) = g( - a )
...Hier lag die Berechnung der inversen Matrix als selbstverständlich nahe. Dies ist jedoch nicht immer der Fall, ganz im Gegenteil. Was ist erforderlich, damit jede Matrix der betrachteten Menge eine Inverse besitzt, also invertierbar ist? Es ist notwendig und hinreichend, dass ihre Determinante ungleich null ist (wir verweisen den Leser auf seinen Kurs in linearer Algebra). Ein Theorem besagt, dass die Determinante eines Matrixprodukts gleich dem Produkt der Determinanten dieser Matrizen ist. Die Definition der Determinante führt dazu, dass die Determinante einer Diagonalmatrix gleich dem Produkt ihrer Diagonalelemente ist. Zum Beispiel:
Folgerungen: Die Determinante aller Einheitsmatrizen 1 ist 1. Daher:
det ( g ) mal det ( g-1) ist gleich der Einheit ¹ 0
Folgerung: Eine Matrix mit Determinante null kann keine Inverse besitzen, was ihrer Definition widersprechen würde. Außerdem gilt:
4 - Viertes Gruppenaxiom: Die Verknüpfung muss assoziativ sein:
( g1 x
g2 ) x
g3 = g1 x
( g2 x
g3 )
Dies ist stets der Fall....
Dimension einer Gruppe
:
...Eine kleine Anmerkung zur Dimension einer Gruppe (von Matrizen), die nichts mit dem Rang der sie zusammensetzenden Matrizen oder der Anzahl der Größen zu tun hat, die den „Raum, auf dem diese Gruppe wirkt“ bilden (zum Beispiel der zweidimensionale Raum (x,y) oder der vierdimensionale Raumzeit-Raum (x,y)).
...Wir haben hier ein Beispiel einer Familie von quadratischen Matrizen mit einem einzigen Parameter a, die sich als Gruppe erweist. Später finden wir Gruppen, die aus quadratischen Matrizen bestehen, die durch n Parameter definiert sind: sechs, zehn, sechzehn, beliebig viele.
Die Anzahl der Parameter, die zur Definition der quadratischen Matrizen der Gruppe dienen, wird als Dimension der Gruppe bezeichnet.
Wir haben es hier mit einer Gruppe zu tun, die durch eine Familie von Matrizen mit einem Parameter a gebildet wird. Die Dimension dieser Gruppe ist 1.
Bemerken wir nebenbei, dass:
Anmerkung:
...Gruppen, und insbesondere die Gruppen, die uns hier interessieren, sind nicht automatisch kommutativ. Dies ist sogar die Ausnahme. Es trifft sich, dass unsere Beispielgruppe kommutativ ist:
...In dieser Gruppe erkennt man die zweidimensionalen Rotationsmatrizen um eine feste Achse. In der „konkreten“ Realität ist diese Operation „offensichtlich kommutativ“. Eine Drehung um eine Achse:
- Zuerst um einen Winkel
a , dann um einen Winkel b
oder:
- Zuerst um einen Winkel
b , dann um einen Winkel a
führt zum gleichen
Ergebnis.
Sie werden sagen: „Normal. Rotationsgruppen sind im Wesentlichen kommutativ.“
...Falsch. Dies ist eine Eigenschaft des 2D-Raums. Im 3D-Raum funktioniert dies nicht mehr. Betrachten wir eine spezielle Gruppe, die aus der Menge der Drehungen um drei orthogonale Achsen (OX, OY, OZ) besteht.
Übung: Zeigen Sie, indem Sie einen Objekt nehmen und es folgenden Drehungen unterwerfen:
-
Zuerst eine Drehung
um + 90° um OX -
Dann eine Drehung um
- 90° um OZ
und dann dieselben
Drehungen, aber in umgekehrter Reihenfolge, dass Sie nicht zum gleichen
Ergebnis gelangen. Diese Operation ist nicht-kommutativ.
Wirkung einer Gruppe.
...Eine Gruppe G besteht aus einer Menge quadratischer Matrizen. Man kann bereits betrachten, dass sie auf sich selbst wirkt (siehe später die Axiome, die eine Gruppenwirkung definieren, ein wesentliches Konzept).
...Unsere Beispielgruppe kann auch auf Punkte eines „2D-Raums“ wirken. Man sagt, sie dreht sie. Eine Gruppe ist dazu da, zu transportieren, aber was genau zu transportieren?
...Genau das ist nicht das Entscheidende. Unter Berufung auf sein Werk „Grammaire de la Nature“ sagen wir mit J.M. Souriau:
Die Art des Transportierens ist wichtiger als das, was transportiert wird.
Im Fall unserer Beispielgruppe wirken die Matrizen auf einen 2D-Raum (x,y), und man kann die entsprechende Wirkung schreiben als
Wenn man setzt (Spaltenvektor):
dann schreibt sich die Wirkung einfach als:
g x
r
...In diesem speziellen Fall identifiziert sich die Wirkung unserer Gruppe auf dem Raum (x,y) mit der Matrixmultiplikation. Wir wollen jedoch zeigen, dass es sich nur um eine spezielle Wirkung handelt und dass das Konzept der Wirkung, das in der Physik fundamental ist, viel allgemeiner ist.
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