Gruppen und physikalische Koadjungierte Wirkung Impuls
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...Alles, was in diesem Bereich folgen wird, dreht sich um Gruppen. Kann man einen vereinfachten Überblick über diesen Teil geben, ohne einen kompletten Kurs über Gruppen zu liefern? Außerdem, welche Beziehung besteht zwischen Gruppen und Teilchen? Alles erscheint einem Neuling sehr mysteriös.
...Zunächst: Was ist eine Gruppe? In dem Folgenden betrachten wir lediglich eine einfache Familie quadratischer Matrizen der Größe (n,n). Die Operation, die es erlaubt, sie aufeinander anzuwenden, ist die Matrizenmultiplikation (Zeile-Spalte).
Alle diese Matrizenfamilien besitzen stets ein neutrales Element der folgenden Art:
...
Eine Gruppe gehorcht offensichtlich Axiomen, denjenigen von Sophus Lie. Die Gruppenaxiome sind allgemeiner als die der Matrizen, doch für uns existieren nur quadratische Matrizen-Gruppen, die mit einer Verknüpfung verbunden sind, die die klassische Zeile-Spalte-Multiplikation ist, notiert als x.
1 - Erstes Gruppenaxiom. Es existiert eine Verknüpfungsoperation, die es ermöglicht, zwei Elemente einer Menge zu verknüpfen, und diese Verknüpfung ist gegenüber dieser Menge innerhalb, d.h. im Fall der Matrizenmultiplikation:
Seien g1 und g2 Elemente einer Menge quadratischer Matrizen G. Ihre Verknüpfung ergibt eine quadratische Matrix:
g3 = g1 x g2
Es ist dann unbedingt erforderlich, dass die resultierende Matrix zur Menge G gehört und vom gleichen Typ ist, d.h. dass:
...Sie werden sagen: „Die quadratischen Matrizen der Größe (2,2): zwei Zeilen, zwei Spalten, oder (5,5): fünf Zeilen, fünf Spalten, erfüllen diesen Kriterium, da g3 = g1 x g2 eine Matrix gleicher Größe ist.“
Doch diese Menge ist ... zu groß, zu unbestimmt. Man kann nichts damit anfangen, und ganz sicher nicht in der Physik. Außerdem erfüllt sie a priori nicht die folgenden Axiome. Siehe weiter unten.
Geben wir ein einfaches Beispiel für eine Menge quadratischer Matrizen mit einem Parameter a, die eine Gruppe bildet:
Verknüpfen wir zwei Matrizen dieser Art:
oder:
g(a) x g(b) = g(g) = g(a + b)
Die Produktmatrix lässt sich schreiben als:
Sie ist vom gleichen Typ wie g1 und g2. D.h.:
Gegenbeispiel. Betrachten wir eine andere Familie von Matrizen mit einem Parameter a:
Verknüpfen wir zwei Matrizen dieser Art:
Die resultierende Matrix ist nicht vom Typ (5). Wie Magritte sagte: „Das ist keine Gruppe.“ Es genügte, ein Vorzeichen zu ändern.
2 - Zweites Gruppenaxiom:
Es muss ein neutrales Element e geben, sodass:
g „verknüpft mit“ e = e „verknüpft mit“ g = g
...In der Menge der quadratischen Matrizen ist dieses neutrale Element stets die Einheitsmatrix, bezeichnet mit 1, mit fetter Schrift: Ab sofort werden wir alle Matrizen und im Allgemeinen alles, was kein Skalar ist, mit fetter Schrift notieren, während schmale Schrift für Skalare reserviert bleibt. Dies würde unter diesen Bedingungen lauten:
g x 1 = 1 x g = g
In unserem Beispiel:
Es sei bemerkt, dass: