Gruppen und Physik: koadjungierte Wirkung des Impulses
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3 - Drittes Gruppenaxiom: Jedes Element muss ein Inverses besitzen, bezeichnet mit g⁻¹, definiert durch:
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
In unserem Beispiel lautet dies:
d.h. b = -a oder:
g⁻¹(a) = g(-a)
...Hier war die Berechnung der Matrixinversen selbstverständlich. Doch das ist keineswegs immer der Fall. Was ist nun notwendig, damit jede Matrix der betrachteten Menge ein Inverses besitzt, also invertierbar ist? Es ist notwendig und hinreichend, dass ihre Determinante ungleich null ist (darauf verweisen wir auf den linearen Algebra-Kurs). Ein Satz besagt, dass die Determinante eines Matrixprodukts gleich dem Produkt der Determinanten der einzelnen Matrizen ist. Durch die Definition der Determinante ergibt sich, dass die Determinante einer Diagonalmatrix gleich dem Produkt ihrer Elemente ist. Zum Beispiel:
Folgerungen: Die Determinante jeder Einheitsmatrix 1 ist 1. Daher gilt:
det(g) mal det(g⁻¹) ergibt die Einheit ¹ 0
Folgerung: Eine Matrix mit Determinante null kann kein Inverses besitzen, was der Definition widersprechen würde. Außerdem:
4 - Viertes Gruppenaxiom: Die Verknüpfung muss assoziativ sein:
(g₁ × g₂) × g₃ = g₁ × (g₂ × g₃)
Dies ist stets der Fall...
Dimension einer Gruppe:
...Ein kleiner Exkurs zur Dimension einer Gruppe (von Matrizen), die nichts mit dem Rang der Matrizen oder der Anzahl der Größen zu tun hat, aus denen der „Raum“ besteht, auf dem die Gruppe wirkt (z. B. der zweidimensionale Raum (x,y) oder der vierdimensionale Raum-Zeit (x,y)).
...Hier haben wir ein Beispiel für eine Familie quadratischer Matrizen mit nur einem Parameter a, die sich als Gruppe erweist. Später werden wir Gruppen kennenlernen, die aus quadratischen Matrizen bestehen, die durch n Parameter bestimmt sind: sechs, zehn, sechzehn, beliebig viele.
Die Anzahl der Parameter, die zur Definition der quadratischen Matrizen der Gruppe benötigt werden, wird die Dimension der Gruppe genannt.
Wir haben es hier mit einer Gruppe zu tun, die aus einer Familie von Matrizen mit einem Parameter a besteht. Die Dimension dieser Gruppe ist 1.
Anmerkung:
Bemerkung:
...Gruppen – und insbesondere diejenigen, die uns hier interessieren – sind nicht automatisch kommutativ. Das ist vielmehr die Ausnahme. In unserem Beispiel ist die Gruppe kommutativ:
...Man erkennt in dieser Gruppe die Rotationsmatrizen im 2D-Raum um eine feste Achse. In der „konkreten“ Welt ist diese Operation „offensichtlich“ kommutativ. Eine Drehung um eine Achse:
- Zuerst um den Winkel a, dann um den Winkel b
oder:
- Zuerst um den Winkel b, dann um den Winkel a
führt zum selben Ergebnis.
Sie werden sagen: „Natürlich. Rotationsgruppen sind im Wesentlichen kommutativ.“
...Falsch. Das ist eine Eigenschaft des 2D. Im 3D funktioniert das nicht mehr. Betrachten Sie eine spezielle Gruppe, bestehend aus allen Drehungen um drei zueinander senkrechte Achsen (OX, OY, OZ).
Übung: Sie werden zeigen, dass man bei einem Objekt, das zunächst:
-
Eine Drehung um +90° um OX
-
Dann eine Drehung um +90° um OZ
erfährt,
und danach die gleichen Drehungen, aber in umgekehrter Reihenfolge, nicht zum selben Ergebnis kommt. Diese Operation ist nicht kommutativ.
Wirkung einer Gruppe
...Eine Gruppe G besteht aus einer Menge quadratischer Matrizen. Man kann bereits annehmen, dass sie auf sich selbst wirkt (siehe unten die Axiome, die eine Gruppenwirkung definieren, ein zentrales Konzept).
...Unsere Beispielgruppe kann auch auf die Punkte eines „2D-Raums“ wirken. Man sagt, sie dreht diese Punkte. Eine Gruppe dient dazu, etwas zu transportieren, aber was genau?
...Genau das ist nicht entscheidend. Zitierend das Werk „Grammatik der Natur“ sagen wir mit J. M. Souriau:
Die Art des Transports ist wichtiger als das, was transportiert wird.
Im Fall unserer Beispielgruppe wirken die Matrizen auf einen 2D-Raum (x,y), und man kann die entsprechende Wirkung schreiben als:
Wenn man setzt (Spaltenmatrix):
dann lautet die Wirkung einfach:
g × r
...In diesem speziellen Fall entspricht die Wirkung unserer Gruppe auf den Raum (x,y) der Matrixmultiplikation. Wir wollen jedoch zeigen, dass dies nur eine besondere Wirkung ist und dass der Begriff der Wirkung, der in der Physik grundlegend ist, viel allgemeiner ist.