Gruppen und Physik, koadjungierte Wirkung, Impuls
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Gruppe der Translationen:
...Betrachten wir den 2-dimensionalen Raum (x,y). In diesem Raum entspricht eine Translation dem Paar von Skalaren (Dx, Dy), und man üblicherweise schreibt
x' = x + Dx
y' = y + Dy
Man verwendet dann die Addition. Kann man die Translation auch mit einer ... Multiplikation kodieren?
Betrachten wir die Matrizen:
und die Gruppenwirkung:
Man beachte, dass es sich hier nicht mehr um die einfache Matrixmultiplikation
g × r
handelt, sondern um die Gruppenwirkung:
Man kann im Vorbeigehen auch Translationen in drei, vier und mehr Dimensionen betrachten:
Die entsprechende Gruppenwirkung ist dann:
...Zufällig ist die Gruppe der Translationen kommutativ, und das neutrale Element ist die „Null-Translation“. In 3D hat die Gruppe die Dimension drei, in 4D ist sie vierdimensional.
Vorteile von Matrizengruppen. Beispiel: Die Euklidische Gruppe.
...Der Vorteil einer Matrizengruppe besteht darin, dass man gleichzeitig mehrere Dinge handhaben kann, die bisher als unterschiedlicher Natur erschienen, beispielsweise Drehung und Translation. Es genügt dann, die Matrizen zu betrachten:
und die Matrix des Gruppenelements auf den Spaltenvektor anzuwenden, um festzustellen, dass dies der Kombination einer Drehung um den Winkel a und einer Translation entlang dem Vektor (Dx, Dy) entspricht.
...Wie man sieht, wirkt die Matrix g nicht „direkt“ auf die Punkte (x,y) dieses 2-dimensionalen Raums, sondern über eine sogenannte „Gruppenwirkung“, die bestimmten Axiomen folgt.
...Ein solcher Gruppe „wirkt“ und „transportiert“, im vorliegenden Fall Punkte. Es handelt sich hier um die Euklidische Gruppe. In Verbindung mit einem 2-dimensionalen Raum (x,y) wird diese Gruppe durch drei Parameter definiert. Es ist g (a, Dx, Dy): Die Dimension dieser Gruppe ist 3. Speziell:
g (0, Dx, Dy) repräsentiert den Untergruppe der Translationen.
g (a, 0, 0) repräsentiert den Untergruppe der Drehungen um den Ursprung.
g (0, Dx, 0) repräsentiert den Untergruppe der Translationen parallel zur x-Achse (der Geraden OX).
...Die Euklidische Gruppe transportiert Punkte, die an sich keine Eigenschaften besitzen (im Gegensatz zu dynamischen Gruppen, die einem einfachen „Massenpunkt“ Eigenschaften wie Masse, Energie, Impuls, Spin verleihen).
...Mit der Euklidischen Gruppe muss man notwendigerweise Mengen von Punkten betrachten. Als ob in der Chemie die Atome untereinander nicht unterscheidbar wären und nur die Geometrie der molekularen Zusammensetzungen eine Information tragen würden.
...Eine geometrische Figur, wie ein Dreieck (als Menge aus drei Punkten oder drei Strecken betrachtet) oder ein Quadrat (als Menge aus vier Punkten oder vier Strecken betrachtet), kann durch die Gruppe transportiert werden. Hier kommt der grundlegende Begriff der Art ins Spiel. Zwei „Objekte“ gelten als derselben Art, wenn es ein Element der Gruppe gibt, das sie aufeinander abbilden kann.
Im Hinblick auf die Euklidische Gruppe bilden Quadrate mit gleicher Seitenlänge a eine Art:
Quadrate derselben Art.
...Wenn die Seitenlängen a und b unterschiedlich sind, gehören diese Objekte nicht zur selben Art. Es existiert kein Gruppenelement, das von einem zum anderen führt. Im Hinblick auf die Euklidische Gruppe
bilden diese Quadrate keine gemeinsame Art.
Die Euklidische Gruppe erlaubt keine Streckungen. Um dies zu berücksichtigen, müsste man zu einer anderen Gruppe übergehen, der Gruppe von Descartes:
Gruppe mit vier Parametern g (λ, a, Dx, Dy), wobei λ ein Streckungsfaktor ist. Die Dimension dieser Gruppe ist somit 4.
Von hier aus kann man sich leicht vorstellen, dass es eine Euklidische Gruppe geben kann, die auf Objekte im dreidimensionalen Raum wirkt.
...Es geht nicht darum, einen kompletten Kurs über Gruppen zu halten, sondern lediglich einige Ideen zu vermitteln. Was ist Zoologie? Eine Wissenschaft, die Tiere untersucht und klassifiziert. Wenn man sich auf die Form beschränkt, ermöglicht die Euklidische Gruppe die Klassifizierung erwachsener Kaninchen. Um Kaninchen unterschiedlicher Größe in derselben Art zu klassifizieren, müsste man die Gruppe von Descartes heranziehen, da es kein Element der Euklidischen Gruppe (3D) gibt, das von einem kleinen Kaninchen zu einem großen führt.
...Sie lächeln? Sie irren sich. Sie haben vielleicht in Ihrer Wohnung oder Ihrem Haus ein kleines Kind, das gerade lernt, und in einer Ecke spielt. Ihnen haben Sie ein klassisches Spielzeug gegeben, bei dem es darum geht, verschiedene Formen in eine Art Kasten einzufügen: Zylinder, Würfel oder Prismen mit dreieckiger Grundfläche.
...Was macht das Kind gerade? Es gewöhnt sich an die Euklidische Gruppe im dreidimensionalen Raum. Es klassifiziert Objekte nach Arten, was ihm später ermöglichen wird, sie zu erkennen und „Formen zu erkennen“.
...Obwohl die Zylinder unterschiedliche Farben haben, prüft das Kind, ob es Gruppenwirkungen (Verschiebungen dieser Objekte im dreidimensionalen Raum) gibt, die es ermöglichen, den Zylinder A und den Zylinder B zur Deckung zu bringen, indem es den Ausschnitt benutzt, der die „Hohlform“ des Zylinders oder des Prismas darstellt – den Eingang zum Fach in seinem Sortierkasten. So lernt es, dass diese Zylinder A und B, im Hinblick auf das Kriterium Form (Euklidische Gruppe), derselben Art angehören.
