Gruppen und Physik, koadjungierte Wirkung, Impuls
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Eine quadratische Matrix vom Rang (n,n) wirkt auf einen Spaltenvektor (n,0). Wie bereits gezeigt wurde, führt die euklidische Gruppe im 2D-Raum, bezogen auf einen Raum (x,y), nicht zu Wirkungen auf Spaltenvektoren:
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sondern auf Spaltenvektoren:
(52)
Dies stellt ein Beispiel für eine Wirkung des Gruppenelements auf einen Raum X mit x ** X **dar. Es gibt unendlich viele mögliche Wirkungen, selbst nur die Wirkung der Gruppe auf sich selbst. Wirkungen werden durch Axiome definiert.
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Betrachtet man den Spaltenvektor:
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wobei x beispielsweise die Vektoren darstellt:
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so erfüllt er die Axiome der Gruppenwirkung. Man kann nun eine Linksmultiplikation der quadratischen Matrix, die das Gruppenelement repräsentiert, mit einer Zeilenmatrix y durchführen und sich fragen, ob dies ebenfalls eine Wirkung darstellt.
(57) Ag(y) = y x g
Die Antwort lautet nein. Dies ist keine Gruppenwirkung: Sie erfüllt nicht die oben genannten Axiome. Es handelt sich vielmehr um das, was ich eine „Antiwirkung“ nenne, die den folgenden „Antiaxiomen“ gehorcht:
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Ein Mathematiker würde sagen, dass es keinerlei Notwendigkeit gibt, solche „Antiwirkungen“ einzuführen, und dass nur ein einziges Axiomensystem ausreicht. Gewiss. Ebenso kann das, was als Antiwirkung betrachtet wird:
(59) AAg(m) = g⁻¹ x m x g
wobei m ein gegebener Vektor ist, eine „Antiwirkung des Gruppenelements g auf die Matrix m“, wobei g⁻¹ die inverse Matrix bezeichnet, als Wirkung des Elements g⁻¹ interpretiert werden.
Ebenso ist eine „Antiwirkung“ nichts anderes als die duale Wirkung einer Wirkung. Ich fand es für didaktische Zwecke zweckmäßig, diesen Begriff einzuführen.
Aus einer Gruppe quadratischer Matrizen, die von n Parametern pi abhängen, kann man Matrizen konstruieren, indem man alle diese Parameter nach dpi differenziert. Die so erhaltenen Matrizen, die durch Elemente dpi gekennzeichnet sind, bilden keine Gruppe, sondern das, was man den „Tangentialvektor der Gruppe“ nennt: dg (ihre „Lie-Algebra“, die übrigens auch keine echte Algebra ist, aber das sei dahingestellt).
Die Gruppe kann daher auf den „Tangentialvektor“ dg wirken, in der Nähe des neutralen Elements e der Gruppe, mittels der „Antiwirkung“:
(60) **AAg(m) = g⁻¹ x dg(g=e) **x g
Man erhält somit das Schema:
(61)
Doch eine Antiwirkung ist die duale einer Wirkung. Wenn jedoch Dualität besteht, dann bleibt ein Skalarprodukt S erhalten.
Souriau suchte daher, eine zweite Gruppenwirkung zu konstruieren, die Wirkung der Gruppe auf ihren Momentenraum. Doch diese Wirkung, die man koadjungierte oder essentielle Wirkung nennt, konnte nicht direkt entstehen. Stattdessen musste er diesen Zwischenschritt durchlaufen, den ich als „Antiwirkung der Gruppe auf ihren Tangentialvektor“ bezeichne.
Die gesuchte Wirkung ergibt sich somit als duale der Antiwirkung der Gruppe auf ihren Tangentialvektor. Und die duale einer Antiwirkung ist eine Wirkung, die sich schreiben lässt als:
(62) Ag(J)
wobei J der „Impuls“ ist: eine Ansammlung von Größen, die Eigenschaften eines „materiellen Punktes“ darstellen. Die betreffende Wirkung, die koadjungiert genannt wird, zeigt, wie sich diese Eigenschaften im Verlauf der Bewegung verändern.
Es existiert eine Gruppe, die später vorgestellt wird, die eine Erweiterung der Galilei-Gruppe ist, die ebenfalls später vorgestellt wird, und die man die Bargmann-Gruppe (1960) nennt. Durch Anwendung dieser Methode auf diese Gruppe kann man ihren Impuls JB und die Art und Weise konstruieren, wie die Gruppe auf ihn wirkt.
Souriau pflegt zu sagen:
Der Impuls folgt der Bewegung wie ihr Schatten.
Schöne Metapher, entlehnt aus seinem Werk „Grammaire de la Nature“. Der materielle Punkt bewegt sich tatsächlich im Raum-Zeit-Raum (x,y,z,t). Dabei ändern sich seine Eigenschaften, was durch diese koadjungierte Wirkung der Gruppe auf ihren Momentenraum beschrieben wird.