Gruppen und Physik coadjungierte Aktion Impuls
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Wir werden die Komponenten des Impulses der Bargmann-Gruppe nicht aufschreiben. Schriftlich schreiben wir den Impuls der Bargmann-Gruppe wie folgt:
JB = { ein Skalar m, plus die anderen Komponenten des Impulses }
Die coadjungierte Wirkung zeigt, wie sich die verschiedenen Komponenten des Impulses transformieren. Aber diese coadjungierte Wirkung beginnt mit der einfachen Beziehung:
(63) m' = m
Die coadjungierte Wirkung der Bargmann-Gruppe auf ihren Impuls beginnt damit, die Masse zu erhalten, die somit einen rein geometrischen Status erhält.
Konstruktion der coadjungierten Wirkung der Poincaré-Gruppe auf ihren Impulsraum Jp**.**
Wenn Sie bereits völlig verloren sind, lassen Sie es einfach. Das ist normal und wird mit den Seiten immer schwieriger. Ich weiß nicht mehr genau, an wen sich das Folgende richtet. Wahrscheinlich an theoretische Physiker oder Mathematiker, aber sicher nicht an Schlosser. Aber ein Student einer Grandes Écoles oder Physik-Lizenz, der sich festhält, kann folgen. Es sind einfach nur Matrizen.
Alles beginnt mit einer Gruppe von Matrizen der Form (4,4), die die Lorentz-Gruppe bilden, deren Element L ist.
Diese werden axiomatisch definiert aus einer Matrix G:
(64)
gemäß:
(65) tL G L = G
wobei die Transponierte der Matrix L vorkommt.
Die Matrizen L bilden eine Gruppe.
Beweis.
Das neutrale Element ist L = 1:
Seien L1 und L2 zwei Elemente der Menge. Prüfen wir, ob das Produkt L1L2 zur Gruppe gehört. Wenn das der Fall ist:
t( L1L2 ) G L1L2 = G
Aber:
t( A B ) = t B t A
Daher:
t( L1L2 ) G L1L2 = tL2 tL1 G L1L2 = tL2 ( tL1 G L1) L2 = tL2G L2
Berechnen wir nun die inverse Matrix von L. Wir starten mit der axiomatischen Definition der Elemente L:
tL G L = G
Wir multiplizieren rechts mit L-1:
tL G L L-1 = G L-1
tL G = G L-1
Wir multiplizieren links mit G:
G tL G = G G L-1
G tL G = L-1
Daher ist die inverse Matrix von L:
L-1 = G tL G
Also:
(66)
der Raum-Zeit-Vektor. Die Matrix G kommt von der Minkowski-Metrik, die dann geschrieben werden kann (mit c = 1):
(67)
Übung: Zeigen Sie, dass die inverse Matrix folgt:
(68)
Wir führen dann einen translationsraumzeitlichen Vektor ein:
(69)
Aus dem wir das Element gp der Poincaré-Gruppe konstruieren:
(70)
Übung: Zeigen Sie, dass dies eine Gruppe bildet und berechnen Sie die inverse Matrix:
(71)
Im Folgenden der „Tangentialvektor der Gruppe, Element ihrer „Lie-Algebra“:
(72)
Von hier aus berechnen wir die Antiwirkung:
(73) dgp' = gp-1 x dgp x gp
Aus Gründen der Rechenbequemlichkeit stellen wir fest, dass;
(74) G d L
eine antisymmetrische Matrix ist. Nennen wir sie:
(75)
daher:
(76)
Setzen wir:
(77)
Mit diesem Material bauen wir die Antiwirkung auf:
(78) dgp' = gp-1 x dgp x gp
Nach allen Berechnungen erhalten wir die Abbildung:
(79)
Wenn Sie diesen Teil mit einfachen Matrizenberechnungen überspringen möchten, sehen Sie sich Gleichung (80) an, unten auf der Seite
(79a)
(79b)
woraus die Elemente der Antiwirkung folgen:
(79c)
aber:
(79d)
daher:
(79e)
aber GG = **1 also **:
(79f)
woraus wir die Abbildung ableiten:
(79g)
Was die gesuchte Antiwirkung darstellt, die Abbildung:
(80)