Gruppen und Physik koadjungierte Aktion Impuls

Gruppen und Physik Koadjungierte Aktion Impuls

(91)

Diese koadjungierte Aktion kann in matrixförmiger Darstellung geschrieben werden.

Die Matrix der Poincaré-Gruppe ist:

(92)

ihre Transponierte ist:

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Betrachten wir die Matrix:

(94)

Das bedeutet, dass wir den Impuls

(95) Jp = { M , P }

in matrixförmiger Darstellung schreiben und das Produkt bilden:

(96)

(97)

(98)

das ich der Matrix zuordnen kann:

(99)

Jp ist also der Impuls der Poincaré-Gruppe in matrixförmiger Darstellung. Und die koadjungierte Aktion wird geschrieben als:

(100)

Als Übung kann der Leser, aufbauend auf den Axiomen, überprüfen, dass es sich tatsächlich um eine Aktion handelt.

Der Impuls der Poincaré-Gruppe kann wie folgt explizit dargestellt werden:

(101)

Diese Matrix ist antisymmetrisch (was bedeutet, dass ihre Hauptdiagonale aus Nullen besteht). M ist die Matrix:

(102)

Erweitern wir sie:

(103)

Es handelt sich tatsächlich um eine antisymmetrische Matrix, wie bereits angenommen, die von sechs Parametern abhängt:

(104)

( lx , ly , lz , fx , fy , fz )

Die drei letzten ( fx , fy , fz ) sind die Komponenten eines Vektors, des Vektors f:

(105)

Die ersten drei ( lx , ly , lz ) sind die unabhängigen Komponenten einer antisymmetrischen (3,3)-Matrix, des Drehimpulses l:

(106)

Somit:

(107)

Der Vektor P ist der Vierervektor Impuls-Energie:

(108)

Man kann nun den Impuls der Poincaré-Gruppe allgemein explizit darstellen:

(109)

Es lässt sich überprüfen, dass es sich um ein Objekt mit zehn Komponenten handelt (die Anzahl entspricht der Dimension des Gruppen).

(110) Jp = { E , px , py , pz , fx , fy , fz , lx , ly , lz } = { E , **p , f , l **}