Gruppen und Physik koadjungierte Aktion Impuls

Gruppen und physikalische Koadjungierte Wirkung Impuls

Spin-Teilchen.

Die Poincaré-Gruppe beschreibt die relativistische Bewegung eines punktförmigen Objekts. Ähnlich beschreibt die Bargmann-Gruppe, deren Ausdruck später gegeben wird, die nicht-relativistische Bewegung eines punktförmigen Objekts, das dann als „Massenpunkt“ bezeichnet wird.

Man sieht also, dass diese Technik, die Berechnung der koadjungierten Wirkung der Gruppe auf den Raum der Impulse, es ermöglicht hat, versteckte Elemente, Attribute des Objekts zu enthüllen: die Komponenten des Impulses .

Was bemerkenswert ist, ist, dass dieser Ansatz, der auf Souriau zurückgeht, die Schlüsselobjekte des Physikers als rein geometrische Objekte hervorbringt. Er hat also eine bisher unerreichte Geometrisierung der Physik geleistet.

Außer Energie und Impuls, haben andere Komponenten, das „Drehen“ und das „Überqueren“, den Physiker ziemlich verblüfft. Was ist das?

Die Ausdrücke der Impulskomponenten hängen selbstverständlich vom gewählten Koordinatensystem ab.

Am einfachsten ist es sicher, kurz zum nicht-relativistischen zurückzukehren, also zur Darstellung der koadjungierten Wirkung, wie sie aus der Analyse der Bargmann-Gruppe hervorgegangen wäre.

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Mysteriöse Formel. Wozu dient sie? Wie funktioniert sie?

Im obigen Kasten wird der Physiker einige vertraute Objekte erkennen:

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sind nur zwei Darstellungen des Geschwindigkeitsvektors { vx , vy , vz }, die erste als Spaltenmatrix und die zweite als Zeilenmatrix. Das Produkt der beiden Matrizen ist ein Skalar:

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etwas, das an eine kinetische Energie erinnert.

m v ist ein Impuls.

Der traditionelle Physiker, wenn es um die Dynamik eines Massenpunkts geht, kennt nur drei Dinge:

• Die Masse m
• Der Impuls m v - Die kinetische Energie 1/2 mv2

Ja, aber Geschwindigkeit im Verhältnis zu was?

Eine Gruppe ist auch ein Blickwinkel auf Dinge. Man kann also entweder annehmen, dass man mit der Gruppe Objekte (wie bei der Euklidischen Gruppe) gegenüber einem vermeintlich festen Beobachter transportiert, oder, das Objekt sei fest, man betrachtet es anders.

Wenn man diesen Verschiebung, diesen Transport der Objekte, im Hinblick auf die dynamischen Gruppen, jene der Physik (im Gegensatz zur Euklidischen Gruppe, in der die Zeit nicht vorkommt), dann muss man auch sagen, dass man die Objekte lebendig macht, indem man ihnen Geschwindigkeit v und Energie E verleiht.

Wenn man die umgekehrte Sichtweise annimmt: das Objekt ist fest und man betrachtet sich selbst, welchen Sinn hat dann die Gruppe?

Die Euklidische Gruppe würde dann bedeuten:

„Gesehen von anderswo und unter einem anderen Winkel“.

„Anderswo“ ist der Translationsvektor :

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„Unter einem anderen Winkel“ ist die Rotationsmatrix a, eine Drehung im Raum (die man mit den Euler-Winkeln explizit darstellen könnte, was wir nicht tun werden).

Im Hinblick auf dynamische Gruppen muss dieser Blickwinkel, diese Sichtweise auf „Dinge“ erweitert werden. Bleiben wir im Kontext der Bargmann-Gruppe, bedeutet die Einführung dieser Geschwindigkeit v, dass der Beobachter, der diesen Massenpunkt von anderswo (Translationsvektor c) unter einem anderen Winkel (Rotationsmatrix a) beobachtet, auch selbst, im Verhältnis zu diesem vermeintlich ruhenden Massenpunkt, eine Geschwindigkeit v besitzt.

Und, um vollständig zu sein, um das Ganze zu verschärfen, bewegt er sich nicht zur gleichen Zeit wie das beobachtete Massenpunkt. Er ist gegenüber ihm um einen Zeitraum Dt verschoben. Mit anderen Worten: Er beobachtet ihn von anderswo, aber es handelt sich um einen spatio-temporären „anderen Ort“, der dem spatio-temporären Übersetzungsvektor entspricht:

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Wenn man also einen solchen „Abstand“ zum Massenpunkt hat, was stelle ich fest? Erstens, dass: m' = m

Das beeinflusst seine Masse nicht.
Ich kann mir das Leben vereinfachen, indem ich die Rotation abschalte. Es ist schon kompliziert genug, einen Massenpunkt von anderswo, aus einem anderen Zeitpunkt, verschoben, auf einem Skateboard mit Geschwindigkeit v zu beobachten. Muss man sich zusätzlich noch den Hals verrenken?

Nein. Machen wir a = 1.

Aber dieser Punkt wird in der Regel in Berechnungen ignoriert. Die koadjungierte Wirkung wird dadurch zu:
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„Betrachten“ muss hier im etymologischen Sinne verstanden werden. Was mache ich, wenn ich eine Situation betrachte, den Himmel, ein Schlachtfeld, den Film, den ein Spionageflugzeug aufnimmt?

Ein Gerichtsvollzieher schreibt:

• Betrachtet die Lage der Dinge.....

Statische Sicht, entsprechend der Euklidischen Gruppe. Der Gerichtsvollzieher beobachtet die Objekte in einer Entfernung c, zum gleichen Zeitpunkt (Dt = 0), im Prinzip ruhend ( v = 0). Bei Bedarf unter einem bestimmten Winkel.

Ein General, der in einem Aufklärungsflugzeug herumspaziert, ist eine Art Gerichtsvollzieher, der sich bewegt (v # 0).

Aber ein Chef des Generalstabs, der den Film betrachtet, den ein Spionageflugzeug oder ein „Drone“ aufnimmt, befindet sich in einer zeitlich versetzten Situation. Er muss sich sagen:

• Betrachten wir das Ziel, gesehen von diesem Punkt, in einer geneigten Kurve, mit einer bestimmten Geschwindigkeit und außerdem so, wie es zwei Stunden zuvor aussah...

Das Ziel hat keine besondere eigene Geschwindigkeit. Man kann es nicht als fest betrachten, selbst wenn es „ein festes Objekt“ ist. Selbst die Erde bewegt sich, der Sonne auch, die Galaxie usw.