Gruppen und Physik, koadjungierte Wirkung, Impuls
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Alles, was ich sagen kann, ist:
- dass ich mich von der "Zielposition" um einen Abstand c entfernt habe.
- sie beobachtete, während ich selbst mit einer Geschwindigkeit v bewegte.
- und dass ich gegenüber dieser Zielposition um einen Zeitversatz Dt versetzt war.
Im Verhältnis zu mir:
--- Ich habe ihre Masse m nicht verändert.
--- Ich habe ihr einen Impuls m v (Impuls) verliehen.
---- Ich habe ihr einen Übergang m [ c - v Dt ] verliehen.
---- und eine Drehung:
Lassen Sie uns letztere genauer betrachten:
(118a)
(118b)
(118c)
oder:
(118d)
Man kann die drei unabhängigen Komponenten der Drehmatrix l als Komponenten eines Vektors auffassen. Dieser Vektor schreibt sich dann:
(119)
Obwohl wir im Raum das Vektorprodukt nicht definiert haben, d. h. ihm keine Rechts-Links-Orientierung zugewiesen haben, können wir dies dennoch als Vektorprodukt interpretieren:
(120)
Das umgekehrte v bezeichnet dabei das Vektorprodukt. Man erkennt, dass die letzte Zeile der Formeln für die koadjungierte Wirkung auf den Impuls entspricht:
(121)
l ist eine Matrix und kein Vektor (aber in unseren Notationen bezeichnen fette Buchstaben indifferenterweise beide, während schmale Buchstaben Skalare bezeichnen).
Dieser Vektor des Vektorprodukts beginnt für den Physiker bereits, etwas Vertrautes zu erinnern: den Drehimpuls.
Man nimmt eine Teilchen, entfernt sich davon um c und beobachtet es, während man mit der Geschwindigkeit v umherwandert. Es wirkt, als wäre das Gegenteil der Fall: dass das Teilchen von einem ruhenden Beobachter entfernt ist und sich mit der Geschwindigkeit v bewegt.
(122)
Übrig bleibt der „Übergang“ f = m [ c - v Dt ]
Dieser verschwindet einfach, wenn man c = v D t setzt, d. h. wenn man die Geschwindigkeit v mit der raumzeitlichen Verschiebung verknüpft:
(123)
Betrachten wir nun den Ausdruck des Impulses, der aus der Poincaré-Gruppe stammt, in einem Koordinatensystem, in dem der Übergang verschwindet:
(124)
Eine Teilchen ist eine spezielle Auswahl im Impuls. Unter Koordinatentransformationen kann man den Übergang f eliminieren und die Komponenten der Drehung l und des Impulses P auf eine einzige Komponente (Bewegung in z-Richtung) reduzieren:
(125)
Das Objekt, das durch die Poincaré-Gruppe beschrieben wird, besitzt also a priori:
- eine Energie E
- einen Impuls P
- einen eigenen Drehimpuls l
Der Drehimpuls ist eine Masse multipliziert mit einer Länge, multipliziert mit einer Geschwindigkeit. Er hat daher die Dimension M L² T⁻¹ der Planckschen Konstanten h.
Die Methode der geometrischen Quantisierung, entwickelt von Souriau (siehe: Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod 1973), zeigt, dass dieser Drehimpuls proportional sein muss zu:
(125b)
in halbzahligen Werten. Das heißt, entweder die Einheit (Photon) oder 1/2 für die anderen Teilchen wie Elektron, Proton, Neutron, Neutrinos und ihre Antiteilchen.