Gruppen und physikalische Koadjungierte Wirkung Impuls
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Teilchen mit Spin und nicht verschwindender Masse.
Es besteht nun kein direkter Zusammenhang zwischen Energie und Impuls mehr, wie bei Photonen und Neutrinos, Teilchen mit verschwindender Masse.
(131)
m sei die Ruhemasse, die dann mit der Masse aus der Bargmann-Gruppe übereinstimmt. Man erhält:
(132a)
(132b)
Begrenzen wir uns auf:
Proton
Elektron
Neutron
und ihre Antiteilchen.
Die Teilchen besitzen verschiedene Ladungen, Eigenschaften, die ebenfalls nicht aus der Poincaré-Gruppe hervorgehen:
- Die elektrische Ladung e = ± 1
- Die Baryonenzahl cB = ± 1
- Die Leptonenzahl cL = ± 1
- Die Myonenzahl cm = ± 1
- Die Tauenzahl ct = ± 1
- Der gyromagnetische Faktor v
Die Umkehrung all dieser Größen entspricht der C-Symmetrie. Man kann dies daher gemäß der folgenden Tabelle zusammenfassen:
(133)
Die Richtung kann beliebig sein, ebenso wie der Spin.
Das magnetische Moment ist gleich dem gyromagnetischen Faktor v multipliziert mit dem Spin s.
(134)
Hier haben wir eine fettgedruckte s für den Spin verwendet. Dies bedeutet, dass die Richtung des Spins beliebig sein kann. Ihr Betrag hingegen ist eine ihrer Eigenschaften und grundlegend invariant (geometrische Quantisierung der Rotation der Teilchen).
Die C-Symmetrie, die Ladungskonjugation, die den gyromagnetischen Faktor v umkehrt, kehrt auch das magnetische Moment um. Der Spin bleibt dabei unverändert.
Permanente Magnete.
Wenn man ein Stück weiches Eisen in ein ausreichend starkes Magnetfeld bringt und anschließend das Feld abschwächt, behält der Metallstück eine permanente Magnetisierung. Was ist geschehen?
Das Magnetfeld richtet die Spins der Elektronen aus, die sich wie kleine Magnete, also kleine magnetische Dipole, verhalten.
Aber warum behalten sie dann die von außen vorgegebene Richtung bei? Durch Nachahmung. Jedes Elektron richtet sich nach dem Magnetfeld aus, das von seinen Nachbarn erzeugt wird. Und da alle anderen Elektronen dasselbe tun, behalten alle diese Momente ihre Parallelität bei. Es ist wie „Panurge im Weltraum“. Solange man den Metallstück nicht erhitzt oder darauf schlägt, bleibt diese schöne elektronische Ordnung erhalten.
Magnetisches Moment der Antimaterie.
Die Ladungskonjugation, die der Materie-Antimaterie-Transformation im Sinne von Dirac entspricht (dies wird später erläutert), führt zur Umkehrung des magnetischen Moments, da der gyromagnetische Faktor umgekehrt wird, während der Spin unverändert bleibt.
Selbstverständlich ändert diese C-Symmetrie weder die Energie noch den Impuls des Teilchens.
Die vier Komponenten der Lorentz-Gruppe.
Wie bereits gezeigt, ist das Element L der Lorentz-Gruppe L axiomatisch definiert. Es muss folgender Bedingung genügen:
(135)
(136)
Jede Matrix L, die dieser Definition genügt, gehört zur Gruppe L. Es handelt sich um eine (4,4)-Matrix, die beispielsweise auf folgendes wirken kann:
(137)
also auf den Raum-Zeit-Raum. Man kann sich daher fragen, ob diese Matrizen nicht Symmetrien in diesem Raum ausführen könnten. Kann man beispielsweise x durch -x ersetzen? Können die Matrizen in verschiedene Untergruppen eingeteilt werden, die diese Operation ausführen, und solche, die sie nicht ausführen?
Vor langer Zeit (auf Englisch: many beautiful candles ago) wurde dies bereits erforscht und gezeigt, dass die Lorentz-Gruppe tatsächlich aus vier Arten von Matrizen besteht.
Ln – jene, die weder Raum noch Zeit umkehren.
Ls – jene, die den Raum umkehren.
Lt – jene, die die Zeit umkehren.
Lst – jene, die beide umkehren.
Man bezeichnet diese Mengen als Komponenten einer Gruppe. Die Lorentz-Gruppe besteht also aus vier Komponenten.
Unmittelbar können wir vier Matrizen angeben, von denen jede der genannten Untergruppe angehört:
(138)
An = 1 (neutrales Element), gehört zu Ln: kehrt weder Raum noch Zeit um.
As gehört zu Ls: kehrt den Raum um.
At gehört zu Lt: kehrt die Zeit um.
Ast gehört zu Lst: kehrt sowohl Raum als auch Zeit um.
Um eine Gruppe zu bilden (hier eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe), muss eine Menge von Matrizen das neutrale Element 1 im betrachteten Format (n,n), hier (4,4), enthalten. Nur die Matrizen der Menge Ln erfüllen diese Bedingung. Sie bilden eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe. Da diese Menge das neutrale Element der Gruppe enthält, nennt man sie auch die neutrale Komponente der Gruppe. Die anderen Mengen bilden keine Untergruppen (unmöglich: sie enthalten nicht das neutrale Element).
Bemerkung:
(139) At = - As Ast = - An
Man kann nun die Menge Lo = Ln » Ls betrachten, die eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe ist und orthochron genannt wird [1]. Die Matrizen Lac = Lt » Lst bilden keine Gruppe, sondern die Menge der Komponenten, die die Zeitumkehr betreffen, die man antichron nennt [12]. Die vollständige Lorentz-Gruppe ist:
(140) L = Lo » Lac
Man kann jedoch auch bemerken, dass das Element:
(141) m Lo , mit m = ± 1
die gesamte Gruppe abdeckt.