Gruppen und Physik koadjungierte Wirkung Impuls
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Die vier Komponenten der Poincaré-Gruppe.
Aus der Lorentz-Gruppe wird die Poincaré-Gruppe konstruiert, bereits erwähnt:
(142)
C ist der Vektor „raumzeitliche Translation“.
(143)
Die Poincaré-Gruppe besitzt ebenfalls vier Komponenten, jeweils verbunden mit der entsprechenden Komponente der Lorentz-Gruppe.
Oben ist die Wirkung der Gruppe auf ihren Bewegungsraum dargestellt. Doch interessant sind die Wirkungen der vier Komponenten auf den Impuls. Siehe: Souriau, Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod 1973 (und Birkhauser 1997, auf Englisch), Kapitel III, Seite 197, Abschnitt mit dem Titel: Inversions d'espace et de temps.
Erinnern wir uns an die Komponenten des Impulses, die der Poincaré-Gruppe zugeordnet sind:
E: Energie
p: Impuls
f: Durchgang
l: Drehung
Um den Notationen von Souriau nahezukommen, bezeichnen wir:
- Ln die neutrale Komponente der Lorentz-Gruppe.
- Ls diejenige, die den Raum umkehrt.
- Lt diejenige, die die Zeit umkehrt – Lst diejenige, die beide umkehrt.
Da C eine raumzeitliche Translation ist, sind die vier Komponenten der Poincaré-Gruppe:
gp ( Ln , C) neutrale Komponente
gp ( Ls , C) Raumumkehr
gp ( Lt , C) Zeitumkehr
gp ( Lst , C) Raum- und Zeitumkehr.
Wir suchen die Wirkung auf die Impulskomponenten. Wir müssen die Formeln betrachten, die die Wirkung der Gruppe auf ihren Impulsraum beschreiben:
(144)
P ist der Viervektor:
(145)
Wir können die zu analysierenden Matrizen aufschreiben:
(146)
mit l = ± 1 und m = ± 1.
Ln = L ( l = 1 ; m = 1)
Ls = L ( l = - 1 ; m = 1)
Lt = L ( l = 1 ; m = - 1)
Lst = L ( l = - 1 ; m = - 1)
(147)
(148)
Gehen wir nun zur Untersuchung der Wirkung auf Drehung und Durchgang über.
(149)
Doch im Interessierenden ist C = 0
(150)
daraus folgt l' = l und f' = l m f
Daraus ergibt sich:
(151) gp ( Ln , C): I E → E ; p → p ; f → f ; l → l
gp ( Ls , C): I E → E ; p → - p ; f → - f ; l → l
gp ( Lt , C): I E → - E ; p → p ; f → - f ; l → l
gp ( Lst , C): I E → - E ; p → - p ; f → f ; l → l
Die Umkehrungen verändern niemals die Drehung l.
Im Gegensatz dazu sind Zeitumkehr und Energieumkehr, E → -E, synonym.
Die Drehung ist synonym mit Spin, wenn sie quantisiert ist. Keine Umkehr verändert sie.
Der Spin (als Betrag des Drehvektors der Teilchen) ist lediglich eine Zahl.
Die Energie einer ruhenden Teilchen ist mc².
Die Zeitumkehr ist synonym mit der Umkehr der Masse m.
Die Raumumkehr kehrt die Masse nicht um.
Die ersten beiden Komponenten der Gruppe werden von Souriau orthochron genannt, die beiden letzten antichron.
Er weist darauf hin, dass dies das Problem negativer Massen aufwirft, das Physiker nicht gerne akzeptieren. Tatsächlich, was geschieht bei der Begegnung zweier Teilchen mit Energien + mc² und - mc²?
Es tritt eine vollständige Vernichtung auf. Es handelt sich nicht um die einfache Materie-Antimaterie-Vernichtung, die Photonen erzeugt. Es wäre ein Phänomen, das reinen Nichts erzeugen würde.
Um dieses Problem negativer Massen zu vermeiden, betrachtet Souriau zwei Lösungen. Die erste besteht darin, einfach zu entscheiden, dass Teilchen mit negativer Masse nicht existieren. Die zweite besteht darin, die antichronen Transformationen auszuschließen.
Wörtlich paraphrasiert könnten wir sagen:
- Gott, in seiner unendlichen Weisheit...
Wir setzen nun die Entwicklung von Elementen fort, die als Grundlage für unsere eigene Arbeit dienen werden.