Gruppen und Physik, koadjungierte Wirkung, Impuls
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Zentrale Erweiterung der Poincaré-Gruppe.
Eine solche Erweiterung wird im Buch von J.M. Souriau, Structure des Systèmes Dynamiques, erwähnt. Seine Methode der geometrischen Quantisierung ermöglicht es ihm, ausgehend von einer Gruppe, die Gleichungen der Quantenmechanik wiederzufinden. Zum Beispiel führt die Bargmann-Gruppe, die das nichtrelativistische Teilchen beschreibt, zur Schrödinger-Gleichung, die ebenfalls nichtrelativistisch ist.
Ausgangspunkt ist die Galilei-Gruppe. Es handelt sich um eine (5,5)-Matrix, die folgendermaßen konstruiert wird:
(152)
Die Rotationsmatrix hängt von drei Parametern ab, den Euler-Winkeln. Daher hat die Gruppe die Dimension zehn.
Mit den Bezeichnungen:
(153)
(154)
und dem zugehörigen Raum-Zeit-Raum:
(155)
Obwohl dies seltsam erscheinen mag, tritt die Masse m im Rahmen der koadjungierten Wirkung der Gruppe auf ihrem Impulsraum nicht als geometrisches Objekt auf. Dies ist nur durch eine nichttriviale Erweiterung dieser Gruppe möglich, die Bargmann-Gruppe (1960).
(156)
Das Vorhandensein des Skalars f erhöht die Dimension dieser Gruppe um eins: elf.
Diese Gruppe wirkt auf einen fünfdimensionalen Raum, den Raum-Zeit-Raum, plus eine zusätzliche Dimension z, durch die Wirkung:
(157)
Die koadjungierte Wirkung der Bargmann-Gruppe auf ihren Impuls wurde oben bereits angegeben. Man sieht, dass die Hinzufügung des Skalars f, die die Gruppe um eine Dimension erweitert, eine zusätzliche Komponente im Impuls hinzufügt, die dann mit der Masse m identifiziert werden kann (die dabei übrigens erhalten bleibt: m' = m).
Ausgehend von der Bargmann-Gruppe und unter Anwendung ihrer geometrischen Quantisierungsmethode kann Souriau nun die nichtrelativistische Schrödinger-Gleichung konstruieren.
Die relativistische Quantengleichung ist die Klein-Gordon-Gleichung. Es war daher logisch, nach der Gruppe zu suchen, von der sie abgeleitet werden könnte. Es handelt sich um die zentrale Erweiterung:
(158)
"pe" für "erweitertes Poincaré". Hier wurde die Poincaré-Gruppe aus dem orthochronen Untergruppe des Lorentz-Gruppe Lo konstruiert.
Der zugehörige Raum ist ebenfalls fünfdimensional:
(159) ( t , x , y , z , z ).
Diese Erweiterung ist einfacher als die von Bargmann, aber tatsächlich sind die Dinge im Relativistischen immer einfacher. Man zeigt nebenbei, dass zwischen dem 1 und dem f in der ersten Zeile nur die Zeilenmatrix 0 = (0 0 0) stehen kann: ausschließlich Nullen.
Die Methode der geometrischen Quantisierung führt dann zur Klein-Gordon-Gleichung. Beim Betrachten der Wirkung der Gruppe auf ihren Impulsraum erhält man Folgendes:
(160)
Jpe = { c , M , P } = { c , Jp }
Die Berechnung ist nicht kompliziert. Sie entspricht im Wesentlichen vollständig der Berechnung der koadjungierten Wirkung der Poincaré-Gruppe auf ihren Impuls.
Man berechnet die anti-Wirkung:
(160 b)
und drückt die Invarianz des Skalarprodukts (Dualität) aus:
(160 c)
Wenn Sie diesen Rechenschritt bewältigen, ist das ein deutliches Zeichen. Es bedeutet, dass Sie langsam in dieses Durcheinander hineinwachsen.
Es taucht ein Skalar c auf, dessen einzige Funktion darin besteht, erhalten zu bleiben. Was bedeutet er? Keine Erklärung. Es ist einfach „etwas, das erhalten bleibt“. Man kann ihm beispielsweise den Status einer elektrischen Ladung zuweisen.
Die erste Idee, die sich aufdrängt, ist, eine solche Erweiterung mehrfach durchzuführen:
(161)
Weiter unten wird gezeigt, dass man diese Operation beliebig oft wiederholen kann und jeweils einen zusätzlichen Skalar hinzufügt:
(162) Jpe = { c₁, c₂, c₃, ..., M, P } Jpe = { c₁, c₂, c₃, ..., Jp }
mit folgender koadjungierter Wirkung:
(163)
Man wird dann bestimmte diskrete Werte der Impulskomponenten als Ladungen des Teilchens betrachten.
Nun wird der Leser sagen: Tatsächlich könnte man beispielsweise sechs zusätzliche Zeilen hinzufügen. Man erhielte dann die Invarianz von Skalaren, die man identifizieren könnte mit:
(164)
c₁ = e (elektrische Ladung)
c₂ = cB (Baryonenzahl)
c₃ = cL (Leptonenzahl)
c₄ = cm (Muonenladung)
c₅ = ct (Tau-Ladung)
c₆ = v (gyromagnetisches Verhältnis)
Es genügt, die Gruppe mit der entsprechenden Wirkung zu betrachten, die einem zehndimensionalen Raum zugeordnet ist:
(165) ( x , y , z , t , z₁ , z₂ , z₃ , z₄ , z₅ , z₆ )
(166)
Wiederum wird die Gruppe um die orthochrone Untergruppe Lo der Lorentz-Gruppe gebildet:
Lo = Ln (neutrale Komponente) » Ln (Rauminversion).
Diese Gruppe mit zwei Komponenten führt einfach sechs Skalare hervor, die das Teilchen begleiten, ohne mit irgendetwas zu interagieren. Der Impuls wird zu:
(167) Jpe = { q, cB, cL, cm, ct, v, Jp }
wobei Jp den „Poincaré-Anteil“ darstellt. Doch dies bleibt von begrenztem Interesse.