Gruppen und Physik koadjungierte Wirkung Impuls

Gruppen und Physik, koadjungierte Wirkung, Impuls

Zurückblick auf die Frage des Impulses.

Wir sind bereit, eine Reise anzutreten, das heißt, eine einfache Matrix zu schreiben, eine Gruppe zu erfinden, die von einer bestimmten Anzahl von Parametern abhängt und auf einen Raum mit einer bestimmten Anzahl von Dimensionen (hier, in diesem Fall, zehn) wirken kann. Dann, arbeitend wie ein Boustrophedon (von bous, dem Ochsen, und strophedein, dem Pflug), haben wir diese berühmte koadjungierte Wirkung der Gruppe auf ihren Impulsraum berechnet und diesen definiert, seine Attribute, seine Komponenten und die Art und Weise, wie diese koadjungierte Wirkung auf sie einwirkt, was wir dann versuchen werden, einen Sinn und eine physikalische Interpretation zu geben.

Blicken wir kurz auf den bisher zurückgelegten Weg zurück, indem wir eine Gruppe ins Spiel bringen, die zwar formal komplizierter erscheint:

(168)

doch uns eine koadjungierte Wirkung lieferte, nachfolgend:

(169)

die sofort die Komponenten dieses punktartigen Objekts, dieses materiellen Punktes sichtbar machte.

(170)
JB = { E , m , p , f , l } JB = = { E , m , px , py , pz , fx , fx , fx , lx , lx , lx }

Auf jeden Fall wussten wir von Anfang an, dass dieser geheimnisvolle Impuls aus elf Skalaren bestehen müsse, da ihre Anzahl gleich der Dimension der Gruppe sein musste, die ebenfalls elf beträgt. Ein Blick auf die Matrixelemente der Bargmann-Gruppe:

(171)

a ist eine „orthogonale“ Matrix, eine Matrix, die „dreht“ oder „mit einer Drehung in einem dreidimensionalen Raum verbunden ist“. Wir hatten sie bereits im zweidimensionalen Fall ausführlich dargestellt. In diesem Fall hing sie nur von einem einzigen Parameter ab, dem Rotationswinkel a.

Im dreidimensionalen Fall hängt sie von drei Parametern ab, den Euler-Winkeln:
a b g

Der Geschwindigkeitsvektor v liefert drei zusätzliche Parameter:
vx vy vz

Die räumliche Verschiebung c bringt drei weitere hinzu:
Dx Dy Dz

und die zeitliche Verschiebung noch einen: e = Dt

Gesamt: zehn.

Ein mysteriöser elfter Parameter hinzufügen: f „verbunden mit der Quantenwelt“. Gut...

Gesamt: elf. Also ein Impuls mit elf Komponenten, den ich in folgender Form darstellen könnte:

(172)

JB = = { J1 , J2 , J3 , J4, J5 , J6 , J7 , J8 , J9 , J10 }

Bei der Berechnung konnte ich Beziehungen zwischen diesen Impulskomponenten erkennen, wie sie sich gegenseitig verknüpften und gruppierten, um sich zu bilden:

• zu Skalaren (E und m)
• zu Vektoren (p und f)
• zu einer Matrix: l.

Es ist, als würde ich sagen: Ein Mensch hat einen Kopf, zwei Arme und zwei Beine. Aber wie bewegt er sich, wie sind diese „Komponenten“ miteinander „gelenkig“ verbunden?

Die koadjungierte Wirkung hat uns dann präzise gezeigt, wie die Gruppe auf diese Impulselemente wirkt:

(173)

In dieser Tabelle erkannte man sofort, dass in diesem berühmten Impuls eine seiner Komponenten, m (der man genauso gut ihren ursprünglichen, willkürlichen Namen J2 hätte lassen können), ein einfacher Skalar ist, der gegenüber dieser Gruppenwirkung unbeeinflusst bleibt.

Wir dachten dann, dass dieser Status recht gut zu dem passt, was wir über die Masse m in einer nicht-relativistischen Welt wissen.

Diese Impulsgleichungen lieferten uns die Werte dieser scheinbaren Eigenschaften, der Komponenten des Impulses, der dem materiellen Punkt zugeordnet ist: Wir verfolgen die Materie in ihren Zuständen: wenn sie gedreht ist (a), räumlich verschoben (c), zeitlich verschoben (e), mit einer Geschwindigkeit v ausgestattet und mysteriös in dieser ebenso mysteriösen fünften Dimension z um eine Menge f verschoben, von der uns gesagt wird, dass „alles dies mit dem Quantenwelt zusammenhängt“.

Gut...

Der Impuls unterliegt einer Transformation durch die koadjungierte Wirkung, die darauf einwirkt. Er wechselt von einem „Zustand“:

(174)

zu einem anderen „Zustand“:

(175)

Warum sollten wir dann nicht einen gewissen „Grundzustand“ betrachten, der folgendermaßen wäre:

(176) JB = { 0 , 0 , 0 , 0 , 0 } = { 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0, 0 }

und sagen, dass eine koadjungierte Wirkung dann Eigenschaften hervorrufen würde, die ich erkennen könnte?

Doch ich sehe, dass ich zumindest die Masse m einbeziehen müsste, da die koadjungierte Wirkung sie nicht verändert. Wenn ich sie also null nähme, bliebe sie null. Daher muss ich von dem Basisobjekt ausgehen:

(177)
JB = { 0 , m , 0 , 0 , 0 } = { 0 , m , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 }

Dieses Objekt hat keine Energie. Die Gruppenwirkung verleiht ihr eine. Ebenso verleiht sie ihm einen Impuls, eine Verschiebung und eine Drehung.

Eine kinetische Energie:

(178)

Eine Impuls (der streng physikalisch denkende Physiker würde sagen: eine „Bewegungsmenge“):

(179) m v

Ein „Drehen“, eine Art „eigenes Drehimpuls“, als ob unser materieller Punkt sich selbst drehen könnte (was für eine kleine Metallkugel mit Masse m, klein genug, um als punktförmig betrachtet zu werden, durchaus möglich wäre):

(180)

Es bleibt dieses äußerst verwirrende Objekt für einen Physiker, der „Verschiebung“. Wenn E auf meinen materiellen Punkt wirkt, habe ich ihm ein „Verschiebungseigenschaft“ verliehen, das er ursprünglich nicht hatte, und diese zeigt sich als:

(181)

Alle Komponenten der Gruppenmatrix wurden als unabhängige Größen behandelt. Das ist „die allgemeinste Verschiebung“.

Schließlich kann ein Mensch, wenn man auf ihn einwirkt, „verschoben“ und „in allen Zuständen“ gefunden werden.

Hier würde es sich um die allgemeinste Verschiebung handeln, bei der unser materieller Punkt
entweder:

• gedreht ist: a
• räumlich verschoben: c
• zeitlich verschoben: e
• mit einer Geschwindigkeit ausgestattet: v
• um eine mysteriöse Menge f in einem ebenso mysteriösen Raum z verschoben.

Oder:

• aus der Ferne beobachtet: c
• von einem Beobachter mit Geschwindigkeit v beobachtet
• unter einem Winkel a
• gemäß einer Filmsequenz, die e = Dt früher oder später aufgezeichnet wurde
• von einem „fünften räumlichen Standpunkt“ z aus, von dem der Beobachter mysteriös um z verschoben war.

Alles dies soll „zurückkommen“ zu demselben Zustand.