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Betrachten wir kühl. Wir haben gesehen, dass verschiedene Teilchen (Photonen, Teilchen, Antiteilchen) unterschiedliche Arten bilden, die einer Aufteilung des Impulsraums in Teilmenge entsprechen, die diesen Arten entsprechen.
Eine Art ist eine Teilmenge bestimmter Bewegungen, eine Teilmenge bestimmter Impulse.
Sag mir, wie du dich bewegst, ich sage dir, was du bist.
Der vollständige Poincaré-Gruppe besitzt vier nicht zusammenhängende, verschiedene Komponenten. Innerhalb des orthochronen Untergruppen befinden sich zwei Komponenten: die neutrale Komponente (die das neutrale Element 1 enthält) und eine andere Komponente, die mit der Raumspiegelung verbunden ist. Diese Komponente beeinflusst weder die Energie noch die Masse des Teilchens. Sie entspricht einfach einer anderen Art von Bewegung, die integraler Bestandteil des Impulsraums ist, der Bewegungen von Teilchen mit positiver Energie zugeordnet ist. Alle Bewegungen können in einem gemeinsamen Raum-Zeit-Raum stattfinden. Bei Antimaterie ist die „Faser“ einfach umgekehrt.
(219)
Die erste Petit-Gruppe.
Es ist dann möglich, eine adjungierte Wirkung zu schaffen, die Materie in Antimaterie und umgekehrt verwandelt, indem man die erweiterte Poincaré-Gruppe wie folgt verändert.
Wir beginnen mit der orthochronen Komponente Go der Lorentz-Gruppe. Wir entfernen daher den antichronen Teil der Poincaré-Gruppe, verdoppeln sie aber, indem wir schreiben:
(220)
Die adjungierte Wirkung führt zu:
(230) c' = l c
---- Gleiche Situation wie zuvor, mit Berechnung der Antiwirkung:
(230 b )
und Invarianz des Skalars:
(230 c)
Aber Achtung: Wenn Sie die Matrix ableiten, kleben Sie uns bitte nicht ein dl an.
l ist kein Parameter der Gruppe, keine freie Variable wie beispielsweise f oder C oder Lo.
l, mit dem Wert +/- 1, erzeugt einfach zwei Komponenten der Gruppe (oder genauer: verdoppelt die Anzahl der Komponenten, da die Lorentz-Gruppe orthochron bereits zwei Komponenten besitzt).
Die Anzahl der Komponenten steigt dann auf 2 x 2 = 4 an, wobei c dann als Ladung angesehen werden kann. l = -1 führt zu einer z-Symmetrie.
Erweiterung der Petit-Gruppe.
Wie oben gesehen, kann man sukzessive Erweiterungen der Poincaré-Gruppe vornehmen (sechsmal).
(231)
Der Impuls wird dabei entsprechend erweitert:
(232) Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }
Wir hatten vorgeschlagen, diese zusätzlichen Skalare als quantisierte Ladungen der Teilchen zu behandeln.
Analog erweitern wir die Gruppe zu:
(233)
Die adjungierte Wirkung ergibt: q' = l q
cB' = l cB
cL' = l cL
cm' = l cm
ct' = l ct
v' = l v
l = -1 führt zu einer C-Symmetrie, einer Ladungskonjugation.
Man kann „kompaktifizieren“ mit:
(234)
die erste Petit-Gruppe wird dann:
(235)
indem man die adjungierte Wirkung schreibt:
(236) **C' = **l C
**C --- - C **entspricht der C-Symmetrie.