f4202 Geometrisierung von Materie und Antimaterie durch die coadjungierte Wirkung einer Gruppe auf ihren Impulsraum. 1:
Lasten als zusätzliche skalare Komponenten des Impulses einer Gruppe, die auf einen 10-dimensionalen Raum wirkt.
Geometrische Definition der Antimaterie. (p2) – Eine dritte Komponente :
(14)
konstruiert aus der Komponente $L_t$ der Lorentz-Gruppe.
– und eine vierte :
(15)
konstruiert aus der Komponente $L_{st}$ der Lorentz-Gruppe.
Eine Gruppe wirkt auf ihren Impulsraum [1]. Bezeichnen wir mit $J_p$ den Impulsraum, der mit der Poincaré-Gruppe verbunden ist.
…Jeder spezifische Impuls J$_p$ von $J_p$ entspricht einer spezifischen Bewegung eines relativistischen Massenpunktes, die durch diese Gruppe beschrieben wird. Man kann die coadjungierte Wirkung der Gruppe auf den Impuls berechnen [1].
Der Impuls ist eine Menge von 10 Komponenten (gleich der Dimension der Gruppe). Diese Komponenten sind :
(16) J$_p$ = { $E$, $p_x$, $p_y$, $p_z$, $f_x$, $f_y$, $f_z$, $s_x$, $s_y$, $s_z$ } = { $E$, p, f, s }
$E$ ist die Energie.
p ist der Impulsvektor :
(17)
f ist der Durchgangsvektor [1].
(18)
s ist eine antisymmetrische (3,3)-Matrix, deren unabhängige Komponenten sind
(19)
{ $s_x$, $s_y$, $s_z$ }
Der Impuls kann in matrixaler Form dargestellt werden [1], mit :
(20)
und :
(21)
Führen wir den Vierervektor aus Impuls und Energie ein :
(22)
(23)
oder auch :
(24)
Dann kann die coadjungierte Wirkung der Poincaré-Gruppe in matrixaler Form geschrieben werden :
(25)
Ausführlicher :
(26)
…Es ist interessant, den Effekt der verschiedenen Komponenten der vollständigen Poincaré-Gruppe auf die Komponenten ihres Impulsraums zu untersuchen. Wir können uns auf bestimmte Matrizen konzentrieren :
(27)
A ist die zugehörige Lorentz-Matrix.
Die coadjungierte Wirkung ergibt :
(28)
(29)
wobei $I_4$ die neutrale Komponente der vollständigen Poincaré-Gruppe ist.
Die entsprechende coadjungierte Wirkung ist :
$E \mapsto E$ ; p $\mapsto$ p ; f $\mapsto$ f ; s $\mapsto$ s
— was den Raum umkehrt. Die entsprechende coadjungierte Wirkung ist :
$E \mapsto E$ ; p $\mapsto$ –p ; f $\mapsto$ –f ; s $\mapsto$ s
— was die Zeit umkehrt. Die entsprechende coadjungierte Wirkung ist :
$E \mapsto$ –$E$ ; p $\mapsto$ p ; f $\mapsto$ –f ; s $\mapsto$ s
— was sowohl Raum als auch Zeit umkehrt. Die entsprechende coadjungierte Wirkung ist :
$E \mapsto$ –$E$ ; p $\mapsto$ –p ; f $\mapsto$ f ; s $\mapsto$ s
Wie J.M. Souriau [1] hervorhebt, werden die beiden Komponenten
\begin{pmatrix} E \ \mathbf{p} \end{pmatrix}
mit der Umkehrung der Energie $E \mapsto$ –$E$ verbunden, was die Umkehrung der Masse $m \mapsto$ –$m$ impliziert.
Definieren wir folgende Mengen von Matrizen :
(30)
