f4301 Geometrisierung von Materie und Antimaterie durch die coadjungierte Wirkung einer Gruppe auf ihren Impulsraum. 2:
Geometrische Beschreibung von Diracs Antimaterie
** Jean-Pierre Petit & Pierre Midy ** Observatoire de Marseille ---
Zusammenfassung :
...Wir erweitern die vorherige Gruppe auf ein vierkomponentiges orthochrones System. Diese Operation gibt eine geometrische Interpretation der Antimaterie nach Dirac.
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1) Einleitung :
...In einem früheren Artikel [1] haben wir eine Beschreibung der Elementarteilchen in einem zehndimensionalen Raum präsentiert, also dem Raum-Zeit (x,y,z,t) plus sechs zusätzlichen Dimensionen:
(1) **{ **z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 }
Wir haben eine 16-dimensionale Gruppe vorgestellt, eine Erweiterung des orthochronen Untergruppen des Poincaré-Gruppe, die auf:
-
ihren 16-dimensionalen Impulsraum
-
ihren 10-dimensionalen Bewegungsraum wirkt.
Die sechs zusätzlichen Komponenten des Impulses wurden den Ladungen der Teilchen zugeordnet:
(2) { q , cB , cL , cm , ct , v }
wodurch der Impuls folgendermaßen wird:
(3) Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }, wobei Jp den klassischen Impuls darstellt, der aus der orthochronen Untergruppe des Poincaré-Gruppe stammt:
(4) Jpo = { E , p , f , **l **}
nach J.M. Souriau [1].
Wir haben den Zusammenhang zwischen den Arten von Impulsen und den Arten von Bewegungen hergestellt, wobei wir vorschlugen, dass:
-
Die Bewegung der Materie dem Bereich { z i > 0 } entspricht.
-
Die Bewegung der Antimaterie dem Bereich { z i < 0 } entspricht.
-
Die Bewegung der Photonen dem Bereich { z i = 0 } entspricht.
All dies muss nun begründet werden.
2) Einführung einer vierkomponentigen Gruppe. Geometrisierung von Diracs Antimaterie.
...Die vorherige 16-dimensionale Gruppe hatte zwei Komponenten, die den beiden orthochronen Komponenten der Lorentz-Gruppe, Ln (neutrale Komponente) und Ls, entsprachen, mit:
(5) Lo (orthochrone Untergruppe) = Ln U Ls
Unsere Gruppe war eine Erweiterung der orthochronen Untergruppe des Poincaré-Gruppe:
(6) Go = Gn U Gs
und wir schrieben sie als:
(7)
Die entsprechende coadjungierte Wirkung war:
(8)
mit:
(9) {c i} = { q , cB , cL , cm , ct , v }
...In einer solchen Gruppe transformiert kein Element die Bewegung eines Materie-Massenpunkts in die Bewegung eines Antimaterie-Massenpunkts und umgekehrt. Gemäß der gewählten Definition der Antimaterie über eine:
(10) z-Symmetrie: {z i} ----> {- z i}
sollte ein Element die zusätzlichen Dimensionen umkehren. Mit:
(11)
können wir die vorherige Gruppe in einer kompakteren Form schreiben:
(12)
Sie enthält das neutrale Element:
(13)
Die Matrix, die die zusätzlichen Dimensionen umkehrt, ist der folgende orthochrone Kommutator:
(14)
Wir können die vorherige Gruppe durch die Operation:
(15) go x goc
verdoppeln.
Das ist gleichbedeutend mit der Schreibweise der neuen vierkomponentigen Gruppe, deren Elemente sind:
(16)
Die entsprechende coadjungierte Wirkung ist:
(17)
Wir sehen, dass ( l = - 1 ) die Ladungen umkehrt. In diesem Fall ist die Umkehrung der zusätzlichen Dimensionen:
(18) z-Symmetrie: {z i} ----> {- z i}
verbunden mit einer:
(19)
C-Symmetrie (oder Ladungskonjugation): { q , cB , cL , cm , ct , v } ---> {- q ,- cB ,- cL ,- cm ,- ct , - v }
was der Beschreibung der Antimaterie von Dirac [4] entspricht, wodurch dieser Artikel eine Geometrisierung der Antimaterie nach Dirac darstellt.
Originalversion (Englisch)
f4301 Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 2 :
Geometrical description of Dirac's antimatter
** Jean-Pierre Petit & Pierre Midy** Observatoire de Marseille ---
Abstract :
...vWe extend the precedent group to a four-components orthochron set. This operation gives a geometrical interpretation of antimatter after Dirac.
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1) Introduction :
...In a former paper [1] we have presented a description of elementary particles ins a ten-dimensional space, i.e. space-time (x,y,z,t) plus six additional dimensions :
(1) **{ **z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 }
We presented a 16-dimensions group, an extension of the Poincaré orthochron subgroup, acting on :
-
its 16-dimensions momentum space
-
its 10-dimensional movement space.
The six additional components of the momentum have been identified to the charges of the particles :
(2) { q , cB , cL , cm , ct , v }
so that the momentum becomes :
(3) Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp } where Jp represent the classical moment, from the orthochron Poincaré sub-group :
(4) Jpo = { E , p , f , **l **}
after J.M.Souriau [1].
We have figured the link between the species of moments and the species of movement, suggesting that :
-
The movement of matter corresponds to { z i > 0 } sector.
-
The movement of antimatter corresponds to { z i < 0 } sector.
-
The movement of photons corresponds to { z i = 0 } plane.
All that must be now justified.
2) Introducing a four components group. Geometrization of Dirac's antimatter.
...The precedent 16-dimensional group had two components, correspondong to the two orthochron components of the Lorentz group, Ln ( neutral component ) and Ls , with :
(5) Lo ( orthochron sub-group ) = Ln U Ls
Our group was an extension of the orthochron Poincaré sub-group :
(6) Go = Gn U Gs
and we wrote it :
(7)
The corresponding coadjoint action was :
(8)
with :
(9) {c i} = { q , cB , cL , cm , ct , v }
...In such a group no element transforms the movement of a matter mass-point into the movement of an antimatter mass-point, and vice versa. According to the chosen definition of antimatter, through a :
(10) z - Symmetry : {z i} ----> {- z i}
some element should reverse the additional dimensions. With :
(11)
we can write the precedent group into a more compact form :
(12)
It contains the neutral element :
(13)
The matrix that reverses the additional dimensions is be the following orthochron commuter :
(14)
We can duplicate the precedent group through the operation :
(15) go x goc
It is equivalent to write the new four component group, whose element is :
(16)
The corresponding coadjoint action is :
(17)
We see that ( l = - 1 ) reverses the charges. In that case the inversion of the additional dimensions :
(18) z - Symmetry : {z i} ----> {- z i}
goes with a :
(19)
C-symmetry (or charge conjugation ) : { q , cB , cL , cm , ct , v } ---> {- q ,- cB ,- cL ,- cm ,- ct , - v }
which corresponds to Dirac's description of antimatter [4], so that the present paper represents a geometrization of antimatter after Dirac.