a702 Das Werk von J.M. Souriau über das Sonnensystem. ** **
...Dieses Werk wurde 1989 von J.M. Souriau auf einer wissenschaftlichen Tagung, die der Gravitation gewidmet war, in Genf, Schweiz, vorgestellt. Der Titel des Artikels lautete: Resonante und nicht-resonante Phänomene im Sonnensystem
...Souriau beginnt mit der Analyse der Umlaufzeiten der verschiedenen Planeten. Die Erde umkreist die Sonne in 365 Tagen. Die Länge eines Venusjahres beträgt 225 Tage. Aus diesen beiden Zahlen konstruiert Souriau eine Fibonacci-Folge (wo jeder Begriff die Summe der beiden vorherigen ist). Wir wissen, dass das Verhältnis aufeinanderfolgender Begriffe gegen die goldene Zahl strebt. Er vergleicht diese Werte mit den Umlaufzeiten. ** **
30 Sonne (29 Tage) 55 nichts 85 Merkur (88 Tage) 140 nichts 225 Venus 365 Erde. 590 (1 Jahr und 7 Monate): Mars (1 Jahr und 10 Monate) 955 nichts 1545 (4 Jahre und 3 Monate): Ceres-Pallas (Asteroidengürtel) 2500 nichts 4045 (11 Jahre): Jupiter (11 Jahre und 10 Monate) 6545 nichts 10590 (29 Jahre): Saturn (29 Jahre und 5 Monate) 17135 nichts 27725 (76 Jahre) Uranus (84 Jahre) 44860 nichts 72585 (199 Jahre) Neptun (165 Jahre), Pluto (248 Jahre)
...Danach untersucht er Resonanzen in Paaren von Planeten. Mathematiker (Liouville, Hurwitz, Borel) haben einen mathematischen Test entwickelt, eine „Maß für das Ausmaß der Irrelevanz einer gegebenen Zahl“, die angibt, „wie weit“ sie von einer rationalen Bruchzahl, dem Verhältnis zweier ganzer Zahlen, entfernt ist. (a701)
Borel führt die Zahl ein: q (x, q) = (Nenner)² * | x - q |
q(x) ist die untere Grenze, wenn q rationale Werte annimmt.
q nähert sich Null, wenn x nahe an einer rationalen Zahl liegt. Wir erhalten eine Kurve, die die Maßzahl der Irrelevanz q(x) einer gegebenen Zahl x zeigt. Unter allen möglichen Werten sind zwei Zahlen die irrationalsten: die goldene Zahl: (a702)
- und ihr Quadrat: w² = 1 - w = 0,3820...
wie man auf dem folgenden Diagramm sehen kann. (a703)
Fig.1 : Diagramm q(x), das seine beiden charakteristischen Peaks zeigt, die der goldenen Zahl und ihrem Quadrat entsprechen.
Diese Funktion q(x), die mit keinem beobachteten Element zu tun hat, ist ein rein mathematisches Objekt. Die sichtbaren Lücken entsprechen rationalen Brüchen (q = 0).
Danach: die Umlaufzeiten, wobei die Einheit das Erdjahr ist.
Merkur : 0,2408425
Venus : 0,6151866
Erde : 1,0000000
Mars : 1,8808155
Ceres-Pallas : 4,604
Jupiter : 11,86178
Saturn : 29,45665
Uranus : 84,0189
Neptun : 164,765
Pluto : 247,68
Berechnen Sie das Verhältnis der Umlaufzeiten von Neptun und Pluto. (a704)
...Wenn man das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Umlaufzeiten berechnet, stellt man fest, dass diese Verhältnisse zwischen 1/3 und 2/3 liegen. Fünf Verhältnisse liegen zwischen 0,35 und 0,40. Das Paar Neptun-Pluto ist also resonant.
Souriau wendet den oben erwähnten Test auf Paare von Planeten an.
Neptun-Pluto: x = 2/3 × 0,9980 q = 0,01
Uranus-Neptun: x = 1/2 × 1,0199 q = 0,04
Uranus-Pluto: x = 1/3 × 1,0176 q = 0,05
Venus-Mars: x = 1/3 × 0,9812 q = 0,06
Jupiter-Saturn: x = 2/5 × 1,0067 q = 0,07
...Man sieht, dass zwei weit voneinander entfernte Planeten, Neptun und Pluto, eine außergewöhnlich starke Resonanz besitzen. Souriau entschließt sich, dieses spezielle Paar in der folgenden Analyse zu ignorieren, die auf einer Fourier-Analyse der Perioden Pj basiert: (a705)
Auf der folgenden Abbildung wird |F(a)|⁴ dargestellt. (a706)
Abbildung 2: Funktion F(a)
...Souriau findet zwei signifikante Peaks für die Werte 0,615 und 0,380, die sich sehr gut mit der q(x)-Kurve der Abbildung 1 decken. Siehe Abbildung 3. : (a707)
Abbildung 3.
...Er schlussfolgert, dass das gesamte Sonnensystem ein nicht-resonantes oder schwach resonantes System ist. Er führt eine inverse Fourier-Transformation (Reziproke) durch, um die wahrscheinlichen Werte der Umlaufzeiten zu konstruieren. Die inverse Fourier-Transformation (a708)
kann aus ausgewählten Linien ak konstruiert werden. Er wählt zwei spezielle Linien aus: a₁ = w a₂ = w²
Er erhält dann folgende Ergebnisse. Die tatsächlichen Werte der Umlaufzeiten sind angegeben. (a709)
Abbildung 4: Wahrscheinliche Periode P für Planeten, basierend auf einem Spektrum, das nur auf die beiden speziellen Linien w und w² beschränkt ist