Das sonnensystem, strukturiert durch die goldene Zahl. Die goldene Regel von Souriau Erwähnung der Arbeit von Jean-Marie Souriau
über die Dynamik des sonnensystems.
...Diese Arbeit wurde von diesem Autor auf einem Kolloquium, das 1989 am Observatorium in Genf stattfand, dessen Thema war:
"Resonanzen und Nicht-Resonanzen im sonnensystem"
...Der Ausgangspunkt von Souriau ist die Analyse der Umlaufzeiten der verschiedenen Planeten. Er wählt dann die der Erde: 365 Tage und die von Venus: 225 Tage und berechnet sowohl in Richtung aufwärts als auch abwärts die entsprechende Fibonacci-Folge (oder eine ähnliche Fibonacci-Folge, bei der jeder Begriff die Summe der beiden vorhergehenden ist). Es ist bekannt, dass unter diesen Bedingungen das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen dieser Folge sich dem goldenen Schnitt nähert.
...Souriau erhält dann Folgendes:
30 Sonne (29 Tage)
55 Nichts
85 Merkur (88 Tage)
140 Nichts
225 Venus
365 Die Erde
590 (1 Jahr und 7 Monate) Mars (1 Jahr und 10 Monate)
955 Nichts
1545 (4 Jahre und 3 Monate) Ceres-Pallas (Asteroidengürtel)
2500 Nichts
4045 (11 Jahre) Jupiter (11 Jahre und 10 Monate)
6545 Nichts
10590 (29 Jahre) Saturn (29 Jahre und 5 Monate)
17135 Nichts
27725 (76 Jahre) Uranus (84 Jahre)
44860 Nichts
72585 (199 Jahre) Neptun (165 Jahre), Pluto (248 Jahre)
...Eine ziemlich erstaunliche Übereinstimmung, müssen wir zugeben. Souriau untersucht dann die Resonanzen zwischen den Planeten. Dazu muss man ein Testverfahren haben, das prüft, ob das Verhältnis x zweier Umlaufzeiten, zwischen 0 und 1 liegend, "nahe" an einen unverkürzbaren Bruch ist:
...Seit langer Zeit wurde ein solcher Test von Mathematikern (Liouville, Hurwitz, Borel, etc.) entwickelt. Es handelt sich um die Zahl:
q ( x , q) = (Nenner)2 x I x - q I
...Bezeichnet man mit q(x) den unteren Grenzwert, wenn q den gesamten Bereich der rationalen Zahlen durchläuft, dann ist q null, wenn x rational ist, klein, wenn x nahe an einer rationalen Zahl liegt; es misst also die Irrationalität von x. Die "irrationalsten" Zahlen sind dann der goldene Schnitt:
und sein Quadrat: w2 = 1 - w = 0,3820...
Man kann es auf dem Diagramm der Funktion q beobachten
**Abbildung 1: Diagramm der Funktion **q **mit seinen beiden Peaks, die den "wenigsten resonanten" Zahlen entsprechen: **dem goldenen Schnitt und seinem Quadrat. **
...Diese Funktion q (die nichts mit den Beobachtungsdaten zu tun hat) ist ein reiner "mathematischer Gegenstand", eine Eigenschaft, die aus der Folge der reellen Zahlen hervorgeht. Diese kontinuierliche Folge sekretiert dann dieses seltsame Spektrum, bevölkert mit gewissen Lücken (wo sich Verhältnisse ganzer Zahlen, rationale Zahlen, befinden, wo q = 0).
...Im Folgenden die Umlaufzeiten der wichtigsten Planeten des sonnensystems, in Jahren:
Merkur: 0,2408425
Venus: 0,6151866
Erde: 1,0000000
Mars: 1,8808155
Ceres-Pallas: 4,604
Jupiter: 11,86178
Saturn: 29,45665
Uranus: 84,0189
Neptun: 164,765
Pluto: 247,68
Beachten Sie, dass das Verhältnis zwischen den Umlaufzeiten von Pluto und Neptun ist:
...Das Verhältnis eines dieser Begriffe zum nächsten liegt zwischen 1/3 und 2/3. Fünf dieser neun Verhältnisse liegen zwischen 0,35 und 0,40. Souriau beginnt dann, die Verhältnisse zwischen den Umlaufzeiten verschiedener Planeten zu untersuchen. Zwei Planeten in perfekter Resonanz würden zu einem Verhältnis ihrer Umlaufzeiten führen, das eine rationale Zahl wäre, der Quotient zweier ganzer Zahlen.
...Souriau beschließt, die verschiedenen Resonanzen im aktuellen sonnensystem zu analysieren. Dazu nimmt er die Verhältnisse der Umlaufzeiten der wichtigsten Planeten, paarweise, und wendet den oben erwähnten Test an.
...Eine einfache Berechnung ermöglicht es ihm, die Liste der Resonanzen zwischen großen Planeten (Ceres und Pallas sind die größten der "kleinen Planeten" und ihre Umlaufzeiten unterscheiden sich nur um 3 Tage und liegen im Asteroidengürtel), deren q-Test unter 0,1 liegt (Nenner ? 6). :
Neptun-Pluto: x = 2/3 x 0,9980 q = 0,01
Uranus-Neptun: x = 1/2 x 1,0199 q = 0,04
Uranus Pluto: x = 1/3 x 1,0176 q = 0,05
Venus-Mars: x = 1/3 x 0,9812 q = 0,06
Jupiter-Saturn: x = 2/5 x 1,0067 q = 0,07
...Diese Tabelle zeigt, dass die beiden am weitesten voneinander entfernten Planeten, Neptun und Pluto, besonders markante Resonanzen aufweisen. Sie bilden also ein "Ausnahmepaar" im Vergleich zu den anderen und Souriau beschließt, sie in der folgenden Analyse zu ignorieren, indem er eine Fourier-Analyse der Umlaufzeiten durchführt:
...Pj sind die Umlaufzeiten der Planeten, von Merkur bis Uranus. Die aufeinanderfolgenden Verhältnisse der Umlaufzeiten liegen zwischen 1/3 und 2/3. Die folgende Abbildung illustriert die Form der Kurve IF(a)I für a zwischen 1/3 und 2/3. Für bessere Lesbarkeit hat Souriau IF(a)I4 auf das Diagramm gebracht.
Abbildung 2: Funktion F(a)
...Zwei signifikante Peaks erscheinen bei den Werten 0,615 und 0,380, in präziser Übereinstimmung mit den Peaks der Abbildung 1 (w = 0,618 und w2 = 0,380). Souriau überlagert dann dieses Spektrum mit der Funktion q:
Abbildung 3.
und schlussfolgert einen globalen Effekt der Nicht-Resonanz, mit Ausnahme des resonanten Paares Neptun-Pluto. Der Phasenverschiebung von F zwischen den beiden Peaks kann als inverse Fourier-Transformation interpretiert werden: Aus einer bestimmten Anzahl von Linien ak, die im Spektrum F ausgewählt wurden, wird die Funktion F konstruiert:
...Die Werte von Pj sind dann nahe an bestimmten Maxima der reellen Teil von F. Souriau begrenzt dann dieses Spektrum auf die beiden Linien a1 = w und a2 = w2 und erhält die Kurve der folgenden Abbildung, auf der außerdem die tatsächlichen Umlaufzeiten der Planeten eingetragen sind.
Abbildung 4: Wahrscheinliche Positionen P der Planeten auf der Grundlage eines Spektrums, das aus den beiden Linien w und w2 konstruiert wurde.
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