Humor und Mathematik
Humor und Mathematik
23. August 2005
Professor Tardy findet durch Zufall die implizite Gleichung der Quéquette
Die „Bitoïde von Tardy"
Man beachte die extreme Einfachheit dieser impliziten Gleichung sechsten Grades. Es handelt sich um eine rein zufällige Entdeckung. Tardy hatte sich tatsächlich wieder an die Arbeit gemacht, um einen Heiligen Gral der Mathematik zu finden: eine implizite Gleichung der Boyschen Fläche, die endlich gut ausbalanciert ist. Diese Fläche wurde von Werner Boy kurz vor dem Sommer 1902 in Göttingen entdeckt. Als junger Student an dieser Universität zeigte er sie dem berühmten Mathematiker Hilbert, der sich sehr interessiert zeigte und mit seinem Schüler vereinbarte, all dies nach den Ferien erneut zu betrachten. Leider verschwand Boy spurlos. Niemand weiß, was aus ihm geworden ist, noch kennt jemand sein Grab. Einige hatten in der Mathematikabteilung in Göttingen vorgeschlagen, ihm zu Ehren ein „Grab des unbekannten Mathematikers" zu schaffen.
Der Palais de la Découverte stellte ein Vierteljahrhundert lang eine Darstellung dieser Fläche aus, die ich erfunden hatte und für die ich später, zusammen mit Jérôme Souriau, dem Sohn des Mathematikers Jean-Marie Souriau, die erste parametrische Darstellung gefunden hatte, die auf der letzten Seite des Topologicon abgebildet ist.
Auszug aus meinem Comic „Das Topologicon"
Unten das in BASIC geschriebene Programm, das es ermöglichte, die ersten computergenerierten Bilder des Objekts zu erhalten. Colonna (École Polytechnique) übernahm diese Arbeit, und alle computergenerierten Bilder der Boy-Fläche, die man auf der ganzen Welt finden kann, gehen auf diese parametrischen Gleichungen zurück. Das Objekt ist an drei hässlichen charakteristischen Falten erkennbar, die den „Pol" umgeben und nur auf Anpassungsfehler der Parameter zurückzuführen sind. Eines Tages, wenn wir eine Minute Zeit haben, werden Tardy und ich uns mit dieser Sache der falschen Falten befassen.
Als der Palais beschloss, diese Fläche aus der Ausstellung zu entfernen, bat ich darum, sie mitnehmen zu dürfen, und ich besitze sie nun bei mir zu Hause, in einer riesigen Kiste. Man könnte meinen, es sei ein Ei, das man ausbrütet, und sie fasziniert die Besucher sehr.
Hier greift Christophe das Problem von viel höher auf. Apéry (Professor für höhere Mathematik, Schüler des blinden Mathematikers Bernard Morin) hat eine implizite Gleichung erzeugt, das heißt vom Typ:
f ( x , y , z ) = 0
Doch schlecht beraten von seinem Chef Morin, nahm er die oz-Achse als Symmetrieachse. Dadurch ist die Gleichung kompliziert und wenig ästhetisch. Folge: Die erhaltene Fläche hat ... Hasenohren. Es ist die „Roger Rabbit"-Version der Boy-Fläche. Aber leider ist das alles, was man zur Verfügung hat, und es ist diese Gleichung, die Sie in den Mathematiklehrbüchern auf der ganzen Welt finden werden. Dabei gibt es eine unendlich viel einfachere Gleichung. Das ist eine Gewissheit. Denken Sie an die Gleichung der prächtigen Steinerschen Römischen Fläche:
x 2 y 2 + y 2 z 2+ z 2x 2 - 2 x y z = 0
deren Reichtum man niemals erraten würde. Nachstehend das von Tardy erhaltene Bild:
Die Steinersche Römische Fläche, gezeichnet mit Winplot. Im Ursprung der dreifache Punkt.
Auf den Achsen die sechs Spitzenpunkte
Dieses Bild wurde mit der hervorragenden Software Winplot zusammengestellt, erstellt von Richard Paris aus Poitiers, t
Kostenlos herunterladbar
Siehe auch http://www.mathcurve.com/surfaces/romaine/romaine.shtml
Die Boy-Fläche muss durch eine ebenso einfache Gleichung beschrieben werden können, mit nur ein paar Termen mehr. Sie ist sechsten Grades. Sie besitzt eine ternäre Symmetrie, und es ist daher angezeigt, eine Darstellung zu suchen, bei der der Vektor ( 1 , 1 , 1 ) die Symmetrieachse ist, was die Gleichung invariant machen würde, wenn man eine zyklische Permutation der Variablen x, y und z durchführt. Wenn man außerdem den Koordinatenursprung in den dreifachen Punkt legt und die Tangentialebenen in diesem Punkt orthogonal sind, ist der Term niedrigsten Grades genau x y z. (Die implizite Gleichung x y z = 0 stellt drei Ebenen dar, die sich im Ursprung schneiden.)
Tardy sucht also in dieser Richtung, unterstützt von einer Software, die es ermöglicht, Flächen und ihre Schnitte darzustellen. Bei einem dieser Schnitte stieß er zufällig auf die oben angegebene Gleichung der Bitoïde, deren bemerkenswerte Eleganz und Einfachheit man zu schätzen wissen wird.
27. August 2005: Die Genesis neu schreiben
Diese Entdeckung hat in der Welt der Mathematik einiges Aufsehen erregt, da einige weibliche Vertreterinnen, eng mit der MLF verbunden, heftig protestiert haben. Aber da eine Entdeckung eine andere nach sich ziehen kann, hat sich ein amerikanischer Forscher, Kevin Fine, Spezialist für Plasmaphysik, für die Gleichung interessiert:
z ( y , y ) = x6 + y6 - x3 y2 - y3 x2
3D-Erweiterung der Bitoïde von Tardy. Die mit Matlab erhaltenen Bilder sind die folgenden:
Die Foufounoide von Kevin Fine
Andere Ansicht der Foufounoide von Kevin Fine
Die rote Kurve (schematische Darstellung) stellt den Schnitt mit der Ebene z = 0 dar.
Man liest in der Genesis, dass Gott die Frau aus einem dem Mann entnommenen Element (eine seiner Rippen) erschuf. Dies legt das Gegenteil nahe, da nach diesem Schema, metaphorisch natürlich, der Mann eine 2D-Struktur wäre, während die Frau eine 3D-Struktur wäre, wobei ersterer nur eine Teilmenge (der Schnitt durch die Ebene z = 0) der letzteren wäre.
Hier die Reaktion von Kevin Fine vom 28. August 2005:
Dear Jean Pierre
I am honored. Unfortunately I am too old (51) for a Fields Medal, but it is a great honor in itself to have your name attached to a curve. Imagine my pride in knowing that in the future a mathematician just might say, "Excuse me, but that is a Fine Foufounoide you have there."
Kevin
Übersetzung
Lieber Jean-Pierre,
Ich fühle mich geehrt. Leider bin ich zu alt für eine Fields-Medaille (ich bin 51). Abgesehen davon bleibt es eine Ehre, seinen Namen an eine Kurve geknüpft zu sehen. Stellen Sie sich meinen Stolz vor, wenn in Zukunft ein Mathematiker eines Tages sagen könnte: „Entschuldigen Sie, aber was Sie da vor sich haben, ist eine wunderbare Foufounoïde."
Kevin
Dear Jean Pierre
I am honored. Unfortunately I am too old (51) for a Fields Medal, but it is a great honor in itself to have your name attached to a curve. Imagine my pride in knowing that in the future a mathematician just might say, "Excuse me, but that is a Fine Foufounoide you have there."
Kevin
Übersetzung
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Lieber Jean-Pierre,
Ich fühle mich geehrt. Leider bin ich zu alt für eine Fields-Medaille (ich bin 51). Abgesehen davon bleibt es eine Ehre, seinen Namen an eine Kurve geknüpft zu sehen. Stellen Sie sich meinen Stolz vor, wenn in Zukunft ein Mathematiker eines Tages sagen könnte: „Entschuldigen Sie, aber was Sie da vor sich haben, ist eine wunderbare Foufounoïde."
Kevin
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