Mathematik Geometrie Fläche Topologie

Wie man eine Cross Cap Fläche in eine Boy Fläche (rechts oder links, je nach Wahl) verwandelt
durch die Steiner'sche Rosenfläche.

Italienisch: Andrea Sambusetti, Universität Rom

../../Crosscap_Boy1.htm

**27. September - 25. Oktober 2003 **

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Hier ist eine „Cross Cap-Fläche“ (so wie Sie sie in den Bildern der virtuellen Realität entdeckt haben werden). Sie hat zwei Kuspidalpunkte, die Ecken einer Selbstschnittlinie sind. Sie kann man durch Zusammenpressen eines Luftballs mit Klemmen herstellen. Aber Sie können auch polyedrische Darstellungen davon bauen. Die unten abgebildete wird uns besonders interessieren.

In Tabelle 4 finden Sie das Schwierigste zu lernen. Mir scheint es unmöglich, dass jemand diese Objekte gut versteht, nur indem er sich die Abbildungen ansieht. Bauen Sie Modelle. Mit anderen Worten, man zieht den Kuspidalpunkt C2 in „die Innenfläche der Fläche“ (was, zwischen den Zeilen gesagt, keinen Sinn ergibt, da Sie sicherlich sofort bemerkt haben, dass die Cross Cap-Fläche einseitig ist: sie hat keine äußere und innere Fläche). Wenn man weiterzieht, „durchdringt“ sich die Fläche selbst, und der Selbstschnitt wird vervollständigt, indem man die Dinge etwas abrundet, mit einer Achtform-Kurve. Im Übrigen wurde ein dreifacher Punkt T geschaffen.

Die Fläche wird in ihrer polyedrischen Form leichter verständlich, und unten haben wir bestimmte Elemente vergrößert, um zu zeigen, was uns dazu veranlasst, dieses Objekt in eine Steiner-Rosenfläche zu verwandeln (siehe die virtuelle Realitätssimulation), deren einfachste polyedrische Form darin besteht, vier Würfel zusammenzusetzen (hier sieht man nur drei).

Tabelle 5: links polyedrische Version, rechts runde Version. Der Pfeil geht durch den Punkt, den wir „einschnüren“ wollen. Weiter unten beginnt der Einschnürungsprozess.

Tabelle 6: Der Einschnürungsprozess wird durchgeführt und erzeugt einen singulären Punkt B. Tatsächlich, da wir von beiden Seiten einschnüren (um Zeit zu sparen), entstehen zwei singuläre Punkte S1 und S1, dann zwei Kuspidalpunkte. Zu diesem Zeitpunkt sind Sie ohne Karton, Schere und Klebeband in Schwierigkeiten.

Tabelle 7: Hier haben wir einfach die verschiedenen Kuspidalpunkte verschoben. Wenn der Punkt C2 „offensichtlich“ ist, haben Sie sicherlich mehr Schwierigkeiten, die Punkte C3 und C4 als Kuspidalpunkte zu erkennen. Dennoch sind sie dort, an den Enden einer Selbstschnittlinie. Über dem Punkt C3 befindet sich einfach das, was ich einen „Posicono“ genannt habe, also einen Punkt, an dem positive Krümmung konzentriert ist (einen Punkt, an dem negative Krümmung konzentriert ist, nenne ich einen „Negacono“). Wenn man dieses Objekt etwas verformt, erhält man die polyedrische Form der Steiner-Rosenfläche (die von Steiner in Rom erfunden wurde; siehe seine Darstellung in der virtuellen Realität).

Also ist das Spiel gewonnen. Es gibt verschiedene Arten von Flächen, je nach den Regeln, die man festlegt. Flächen, die sich nicht selbst schneiden, werden als „Einbettungen“ (der Kugel oder des Torus in R3) bezeichnet. Wenn sie sich jedoch selbst schneiden, aber der Tangentialraum kontinuierlich variiert, ohne zu degenerieren, werden sie als Einbettungen bezeichnet. Zum Beispiel: die klassische Darstellung der Klein'schen Flasche. In R3 gibt es keine Darstellung der Klein'schen Flasche als Einbettung: sie muss sich zwangsläufig selbst schneiden. Einbettungen besitzen Selbstschnittmengen ohne Kuspidalpunkte. Diese Mengen sind kontinuierliche Kurven, können aber in doppelten oder dreifachen Punkten aufeinandertreffen. Beobachtung: Die Kugel kann als Einbettung (die keine Einbettung ist) dargestellt werden, indem man sie selbst schneiden lässt. Es ist tatsächlich der Weg, auf dem man sie umdrehen kann (siehe den Methode von A. Phillips, 1967, der zentralen Schritt des doppelten Überdeckungsprozesses einer Boy-Fläche; siehe auch B. Morin und J.P. Petit, 1979, in dem das zentrale Modell der „vier Ohren“-Darstellung von Morin verwendet wird, von dem unten eine polyedrische Darstellung zu sehen ist, die ich vor etwa zehn Jahren erfunden habe).

Montageanleitung dieses Objekts mit Papier und Schere

Wenn man die Spielregeln erweitert und zulässt, dass diese Objekte auch Kuspidalpunkte haben, erhält man Einbettungen (die Cross Cap, die Steiner-Rosenfläche). Ich weiß nicht, ob „Einbettung“ der richtige Begriff ist, aber da ich keinen Mathematiker gefunden habe, der mir bei diesen Ideen helfen könnte, fand ich es amüsant, einen zu erfinden, provisorisch, bis ein erfahrener Geometer auftaucht. Somit wären die Cross Cap-Fläche und die Steiner-Rosenfläche Einbettungen der „projektiven Ebene“.

Um es ganz offen zu sagen, nach fünfundzwanzig Jahren Tätigkeit und meinen Enttäuschungen in der Magneto-Hydrodynamik hatte ich diese Arbeiten begonnen, weil sie mir am weitesten von jeder militärischen Anwendung entfernt schienen. Aber, wie mein alter Freund Mihn mir sagte, könnte der Begriff „Einbettung“ zu Verwirrung führen und der Marine den Eindruck vermitteln, dass ich durch diese Forschungen versuche, Fortschritte in der Unterwassertriebwerkstechnik zu verbergen.

Die Regel der „Erzeugung-Lösung“ von Kuspidalpunktpaaren ermöglicht es, von einer Einbettung eines Objekts zu einer anderen zu wechseln, und das haben wir gerade getan, um zu zeigen, dass die Cross Cap-Fläche und die Steiner-Rosenfläche zwei Einbettungen desselben Objekts sind, das als projektive Ebene bekannt ist. Versuchen Sie nicht, sich eine „projektive Ebene“ vorzustellen. Dieses Objekt kann nur durch verschiedene Darstellungen verstanden werden. Was den Begriff „projektiv“ angeht, ist er nur einer von tausend von Mathematikern erfundenen Begriffen, um diejenigen abzuschrecken, die in ihren geschlossenen Kreis eindringen möchten. Zanichelli wird Ihnen in der Mathematik nicht helfen.

Wir müssen also noch sehen, wie man zur Boy-Fläche gelangt, die eine Einbettung der projektiven Ebene ist

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