Mathematik Geometrie Flächen Topologie

Wie man eine Cross Cap-Fläche in eine Boy-Fläche (rechts oder links, je nach Wahl) verwandelt
über die Steiner-Romane-Fläche.

Italienisch: Andrea Sambusetti, Universität Rom

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**27. September - 25. Oktober 2003 **

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Hier ist eine „Cross Cap-Fläche“ (so wie Sie sie in den Bildern der virtuellen Realität entdeckt haben würden). Sie hat zwei Kuspidalpunkte, die Ecken einer Selbstschnittlinie sind. Sie kann man durch Zusammenpressen eines Luftballs mit Klemmen herstellen. Aber Sie können auch polyedrische Darstellungen davon bauen. Die unten abgebildete wird uns besonders interessieren.

In Tabelle 4 finden Sie das Schwierigste zu lernen. Mir scheint es unmöglich, dass jemand diese Objekte gut versteht, nur indem er sich die Bilder ansieht. Bauen Sie Modelle. Kurz gesagt, man zieht den Kuspidalpunkt C2 in „die Innenfläche“ (was, zwischen den Zeilen gesagt, keinen Sinn ergibt, da Sie sicherlich sofort bemerkt haben, dass die Cross Cap-Fläche einseitig ist: sie hat keine äußere und innere Fläche). Wenn man weiterzieht, „durchdringt“ sich die Fläche selbst, und der Selbstschnitt wird vervollständigt, indem man die Dinge etwas abrundet, mit einer Achtform-Kurve. Im Übrigen wurde ein dreifacher Punkt T geschaffen.

Die Fläche ist in ihrer polyedrischen Form leichter zu verstehen, und unten haben wir bestimmte Elemente vergrößert, um zu zeigen, was uns dazu bringt, dieses Objekt in eine Steiner-Romane-Fläche zu verwandeln (siehe virtuelle Realitätssimulation), deren einfachste polyedrische Form darin besteht, vier Würfel zusammenzusetzen (hier sieht man nur drei).

Tabelle 5: polyedrische Version links, runde Version rechts. Der Pfeil geht durch den Punkt, den wir „einklemmen“ wollen. Unten beginnt der Klemmvorgang.

Tabelle 6: Der Klemmvorgang wird durchgeführt und erzeugt einen singulären Punkt B. Tatsächlich, da wir von beiden Seiten klemmen (um Zeit zu sparen), entstehen zwei singuläre Punkte S1 und S1, dann zwei Kuspidalpunkte. Zu diesem Zeitpunkt sind Sie ohne Karton, Schere und Klebeband in Schwierigkeiten.

Tabelle 7: Hier haben wir einfach die verschiedenen Kuspidalpunkte verschoben. Wenn der Punkt C2 „offensichtlich“ ist, haben Sie sicherlich größere Schwierigkeiten, die Punkte C3 und C4 als Kuspidalpunkte zu erkennen. Doch sie sind dort, an den Enden einer Selbstschnittlinie. Über dem Punkt C3 befindet sich einfach das, was ich einen „Posicono“ genannt habe, also einen Punkt, an dem positive Krümmung konzentriert ist (einen Punkt mit negativer Krümmung nenne ich „Negacono“). Wenn man dieses Objekt etwas verformt, erhält man die polyedrische Form der Steiner-Romane-Fläche (erfunden von Steiner in Rom; siehe seine Darstellung in der virtuellen Realität).

Also ist das Spiel vorbei. Es gibt verschiedene Arten von Flächen, je nach den Regeln, die man vorgibt. Flächen, die sich nicht selbst durchschneiden, werden als „Einbettungen“ (der Kugel oder des Torus in R3) bezeichnet. Wenn sie sich jedoch selbst durchschneiden, aber der Tangentialraum kontinuierlich variiert, ohne zu degenerieren, werden sie Einbettungen genannt. Zum Beispiel: die klassische Darstellung der Klein'schen Flasche. In R3 gibt es keine Darstellung der Klein'schen Flasche als Einbettung: sie muss sich zwangsläufig selbst durchschneiden. Einbettungen besitzen Selbstschnittmengen ohne Kuspidalpunkte. Diese Mengen sind kontinuierliche Kurven, können aber an doppelten oder dreifachen Punkten aufeinandertreffen. Beobachtung: Die Kugel kann als Einbettung (die keine Einbettung ist) dargestellt werden, indem sie sich selbst durchschneidet. Es ist tatsächlich der Weg, auf dem man sie umdrehen kann (siehe den Methode von A. Phillips, 1967, der einen zentralen Schritt des doppelten Überdeckung einer Boy-Fläche enthält; siehe auch B. Morin und J.P. Petit, 1979, in dem das zentrale Modell der „vier Ohren“ von Morin verwendet wird, von dem unten eine polyedrische Darstellung zu sehen ist, die ich vor etwa zehn Jahren erfunden habe).

Montageanleitung dieses Objekts mit Papier und Schere

Wenn man die Spielregeln erweitert und zulässt, dass diese Objekte auch Kuspidalpunkte haben, erhält man Einbettungen (die Cross Cap, die Steiner-Romane-Fläche). Ich weiß nicht, ob „Einbettung“ der richtige Begriff ist, aber da ich keinen Mathematiker gefunden habe, der mir bei diesen Ideen helfen konnte, fand ich es lustig, einen zu erfinden, zumindest vorläufig, bis ein erfahrener Geometer auftaucht. Somit wären die Cross Cap-Fläche und die Steiner-Romane-Fläche Einbettungen des „projektiven Plans“.

Ehrlich gesagt, nach fünfundzwanzig Jahren Tätigkeit und meinen Enttäuschungen in der Magneto-Hydrodynamik hatte ich diese Arbeiten begonnen, weil sie mir am weitesten von jeder militärischen Anwendung entfernt schienen. Aber wie mir mein alter Freund Mihn sagte, könnte der Begriff „Einbettung“ zu Verwirrung führen und den Marineoffizieren den Eindruck vermitteln, dass ich durch diese Forschungen Versuche unternahm, Fortschritte in der Unterwasserantriebstechnik zu verbergen.

Die Regel der „Erzeugung-Auflösung“ von Kuspidalpaaren ermöglicht es, von einer Einbettung eines Objekts zu einer anderen zu wechseln, und das haben wir gerade getan, indem wir zeigten, dass die Cross Cap-Fläche und die Steiner-Romane-Fläche zwei Einbettungen desselben Objekts sind, das als projektiver Plan bekannt ist. Versuchen Sie nicht, sich einen „projektiven Plan“ vorzustellen. Dieses Objekt kann nur durch verschiedene Darstellungen verstanden werden. Was den Begriff „projektiv“ angeht, ist das nur einer von tausend Begriffen, die Mathematiker erdacht haben, um Leute abzuschrecken, die in ihren geschlossenen Kreis eindringen möchten. Zanichelli wird Ihnen in Mathematik nicht helfen.

Wir müssen also noch sehen, wie man zur Boy-Fläche gelangt, die eine Einbettung des projektiven Plans ist.

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