Geometrie Fläche von Boy Modell polyederförmige römische Fläche von Steiner

Wie man eine Cross Cap Fläche in eine Boy Fläche (rechts oder links, je nach Wahl) verwandelt,
indem man die römische Fläche von Steiner durchläuft.

Italienisch: Andrea Sambusetti, Universität Rom

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27. September - 25. Oktober 2003

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Wir präsentieren das Modell noch aus einer anderen Perspektive:

Tabelle 14: Wir wiederholen immer die gleiche Operation und erstellen das dritte „Ohr“ der Selbstschnittkurve. Im polyederförmigen Modell hat letztere die Form von drei Quadraten mit einem gemeinsamen Eckpunkt: dem Tripelpunkt T .

Tabelle 15: Wenn Sie das Objekt drehen, werden Sie die polyederförmige Version der Boy-Fläche wiederfinden, die ich im Topologicon vorgestellt hatte (wo Sie auch einen Montageplan finden, mit dem Sie sie selbst bauen können).

Letzte Tabelle: Ich habe versucht, die Steiner-Römische Fläche zu illustrieren, während sie sich verformt und in eine Boy-Fläche übergeht.

Sie sehen, dass es eine gewisse Übung erfordert, um sie zu verstehen, wenn sie „rund“ gezeichnet wird. Unser Auge ist sehr unbehaglich, wenn es um die Verständnis eines Objekts geht, bei dem auf einer einzigen Sichtlinie mehr als zwei Flächen übereinander liegen. Daher ist das Interesse des polyederförmigen Modells, das jedem, der es selbst baut, die für die Geometrie als kompliziert geltenden Transformationen zugänglich macht. Dabei sei angemerkt, dass je nach gewählten Paaren von Kuspidalpunkten eine rechte oder linke Boy-Fläche entsteht (vollkommen willkürlich definiert). Die projektive Ebene wird im Raum durch zwei „antiautomorphe“ spiegelbildliche Darstellungen eingebettet. Wir sehen also auch, dass man von einer rechten Boy-Fläche zu einer linken Boy-Fläche durch ein „zentrales“ Modell gelangt, die römische Fläche von Steiner.

Es wäre bestimmt nett, wenn diese Zeichnungen in Zeitschriften wie Pour la Science oder La Recherche veröffentlicht würden. Doch seit zwanzig Jahren bin ich aufgrund von UFO-Deviationismus „verboten“ in diesen Zeitschriften zu publizieren. Danke, Herrn Hervé This und Philippe Boulanger. Ich habe die Anzahl der Artikel dieses Typs, die ich diesen Zeitschriften vorgeschlagen habe, verloren, und sie wurden mir höflich abgelehnt. Man gewöhnt sich schließlich an seinen Status als Exkommunizierter.

Anekdotisch erwähnt, gibt es einen „Alembert-Preis“, der Autoren von populärwissenschaftlichen Mathematikbüchern auszeichnet. Die Geschichte erzählte mir ein Mitglied der Kommission, die entschied, wem der Preis verliehen werden sollte (es gibt auch finanzielle Aspekte dahinter). Dialog:

• Also, warum geben wir den Preis nicht Petit? Er hat bemerkenswerte Werke wie das „Géométricon“, das „Trou Noir“ und das „Topologicon“ geschrieben.

• Ja, aber er hat nicht nur das getan.

• Worauf deuten Sie hin?

• Er hat auch das „Mur du Silence“ geschrieben.

• Ah, dann...

Ja, das „Mur du Silence“, veröffentlicht 1983, ist ein Album, das der MHD gewidmet ist. Und wie jeder von uns weiß, hat diese korrosive Wissenschaft den Vorteil, oder die Nachteile, dass Flugzeuge mit überlauter Geschwindigkeit ohne „Bang“ fliegen können.

„Verstecken Sie diese Wissenschaft, denn ich könnte sie nicht sehen“

Ich habe in meinen Schachteln eine wunderbare Version des „Würfelumstülpens“, das nicht die polyederförmige Version der Morin-Variante ist. Alles aus meinem eigenen Kopf. Eines Tages...

22. Oktober 2003: Auf diesen Seiten wird nicht allzu sehr gearbeitet, wenn ich dem Zähler glauben darf. Am Montag, dem 13. Oktober 2003, hielt ich einen Vortrag am CMI (Zentrum für Mathematik und Informatik von Château-Gombert-Marseille) auf Einladung von Trotman. Bei dieser Gelegenheit konnte ich eine Sammlung von etwa dreißig Kartonmodellen präsentieren, von denen Sie eines Tages die Vorlage genießen können, da sie von Christophe Tardy fotografiert wurden.

Beim Vortragen entsteht eine gewisse Atmosphäre. In der unten stehenden Fotografie sehen Sie einen Geometer, der seine Verwirrung ausdrückt.

Im Hintergrund eine Teilmenge der Modellchen, die mit Hilfe meines langjährigen Mitarbeiters, Boris Kolev, Mitglied des Departments, auch Geometer, ausgestellt wurden. Zu einem Zeitpunkt stellte ich die Frage:

• Wie viele von Ihnen haben schon einmal eine römische Fläche von Steiner gesehen? Heben Sie die Hand.

Niemand hatte sie jemals gesehen. Ich fand es daher nützlich, dieses Objekt vorzustellen, mit einem virtuellen Realitätsprogramm auf meinem Laptop, das mit Hilfe von Christophe Tardy, Ingenieur, und Frédéric Descamp, vom Institut Laue Langevin in Grenoble (ILL), erstellt wurde. Offensichtlich verblüfft diese Präsentation das Publikum, das nicht gewohnt ist, mathematische Flächen in ihrer Freiheit zu sehen.

Zwei Kartontafeln, die in der Vordergrund zu sehen sind, ermöglichten es, die gesamte Folge der Modellchen in ihrer logischen Reihenfolge vorzustellen. Die grünen und gelben Modelle illustrieren in polyederförmiger Form das wesentliche Werkzeug zur Erzeugung und Auflösung eines Paares von Kuspidalpunkten. Das weiteste weiße Objekt ist eine polyederförmige Version der Cross Cap-Fläche, die zunächst in eine polyederförmige Version der römischen Fläche von Steiner übergeht, dann, einen Meter weiter, nach Belieben, in eine rechte oder linke Boy-Fläche.

Die Analyse der Modelle löst verschiedene Beobachtungen im Publikum aus. Ein Geometer fragt:

*- Wenn es wahr ist, dass man durch die Modelle in dieser Reihenfolge von der Cross Cap-Fläche zur Boy-Fläche gelangen kann, scheint es, dass man durch die umgekehrte Methode eine Boy-Fläche in eine Cross Cap-Fläche verwandeln kann. *

Ich antworte bestätigend. Mutiger geworden, fügt mein Gesprächspartner hinzu:

*- Dann, wenn man bei der römischen Fläche von Steiner ankommt und dort verbleibt, sollte es möglich sein, zurück zu einer Boy-Fläche zu gelangen, aber reflektiert gegenüber der ursprünglichen. *

Ich stimme zum zweiten Mal zu. Doch leider wird niemand auftauchen, um einige Klarstellungen zu diesem seltsamen Weltbild zu geben, in dem es erlaubt ist, dass die Einbettungen geschlossener Flächen Kuspidalpunkte haben, die paarweise erzeugt oder aufgelöst werden, deren Gesamtheit eine Art Erweiterung des Bereichs der Einbettungen darstellt. Der Begriff „Summersion“ scheint mir passend. Wenn ein Leser in der Lage ist, einige Klarstellungen zu geben, ist er willkommen.

Krummung konzentriert in einem Kuspidalpunkt.

Wir berechnen sie, indem wir die Winkel an den Ecken summieren und diese Summe mit dem Ergebnis vergleichen, das man im Fall der euklidischen Ebene erhält: 2p.

Oben links können Sie eine der vielen möglichen polyederförmigen Darstellungen eines Kuspidalpunktes sehen. „Zerlegt“ man die Fläche, erhält man eine Winkelsumme, die den Wert 2p um 2a übertrifft. Daraus folgt, dass die konzentrierte Winkelkrümmung um diesen Punkt C gleich -2a ist. Wenn der Winkel a gleich p/2 ist, dann beträgt die negative Krümmung -p (siehe Abbildung unten links). Tatsächlich kann die Krümmung eines Kuspidalpunktes unendlich viele Werte annehmen. Unten rechts betonen wir die Winkelsumme und die Krümmung wird dann < -p (wir haben die negative Krümmung erhöht).

Umgekehrt können wir eine ziemlich überraschende Situation erreichen: Wir können es so einrichten, dass die (Winkel-)Krümmung, konzentriert in C, ... null ist:

Wir beginnen nun mit einer polyederförmigen Darstellung der Cross Cap-Fläche, die zwei Kuspidalpunkte enthält, von denen jeder eine Krümmung von -p hat:

In dieser Abbildung gibt es acht „Posiconi“ mit dem Wert +p/2. Wir fügen vier weitere „Posiconi“ mit der Krümmung +p/4 und vier „Negaconi“ mit der Krümmung -p/4 hinzu.

Zusammen mit den beiden Kuspidalpunkten mit Krümmung -p.

Gesamt: 2p

Wenn wir den Wert dieser „gesamten Krümmung“ durch 2p teilen, erhalten wir den Wert der Euler-Poincaré-Charakteristik jeder Darstellung der projektiven Ebene (oder der Boy-Fläche).

Während des Vortrags erwähnte ich die Kunst und die Art, die beiden Kuspidalpunkte einer Cross Cap-Fläche zu vertauschen, indem man die Umstülpung von...