Die Geometrie der Modellflächen mathematische Modelle

Wie man eine Cross Cap-Oberfläche in eine Boy-Oberfläche (rechts oder links, je nach Wahl) verwandelt, indem man die Steiner-Romische Fläche durchläuft.

Italienisch: Andrea Sambusetti, Universität Rom

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**27. September - 25. Oktober 2003 **

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Wir präsentieren das Modell noch aus einer anderen Perspektive:

Tabelle 14: Wir wiederholen immer dieselbe Operation und erstellen das dritte „Ohr“ der Selbstschnittkurve. In dem polyedrischen Modell hat letztere die Form von drei Quadraten mit einem gemeinsamen Eckpunkt: dem Tripelpunkt T .

Tabelle 15: Wenn Sie das Objekt drehen, werden Sie die polyedrische Version der Boy-Oberfläche wiederfinden, die ich im Topologicon vorgestellt hatte (wo Sie auch einen Montageplan finden, mit dem Sie sie bauen können).

Letzte Tabelle: Ich habe versucht, die Steiner-Romische Fläche zu illustrieren, während sie sich verformt und in eine Boy-Oberfläche übergeht.

Sie sehen, dass es eine gewisse Übung braucht, um sie zu verstehen, wenn sie „rund“ gezeichnet wird. Unser Auge ist sehr unbehaglich, wenn es um die Wahrnehmung eines Objekts geht, bei dem auf einer einzigen Sichtlinie mehr als zwei Flächen übereinander liegen. Aus diesem Grund ist das polyedrische Modell interessant, das es jedem ermöglicht, wenn man nur versucht, die Modellchen selbst zu bauen, komplexe Transformationen der Geometrie zu verstehen. Hinzu kommt, dass je nach gewählten Paaren von Kuspidalpunkten eine rechte oder linke Boy-Oberfläche entsteht (völlig willkürlich definiert). Die projektive Ebene wird im Raum durch zwei spiegelbildliche „antiautomorphe“ Darstellungen eingebettet. Wir sehen also auch, dass man von einer rechten Boy-Oberfläche zu einer linken Boy-Oberfläche durch ein „zentrales“ Modell gelangen kann, das die Steiner-Romische Fläche ist.

Es wäre sicher nett, wenn diese Zeichnungen in Zeitschriften wie Pour la Science oder La Recherche veröffentlicht würden. Aber seit zwanzig Jahren bin ich aufgrund von UFO-Deviationismus „verboten“ worden, in diesen Zeitschriften zu veröffentlichen. Danke, Herrn Hervé This und Philippe Boulanger. Ich habe die Anzahl der Artikel dieses Typs, die ich diesen Zeitschriften vorgeschlagen habe, vergessen, und sie wurden mir freundlicherweise abgelehnt. Man gewöhnt sich schließlich an seinen Status als Exkommunizierter.

Anekdotisch erwähnt, gibt es einen „Alembert-Preis“, der Autoren von populärwissenschaftlichen Mathematikbüchern gewidmet ist. Die Geschichte wurde mir von einem Mitglied der Jury erzählt, die entschied, wem der Preis verliehen werden sollte (es gibt allerdings auch Geldfragen dahinter). Dialog:

• Also, warum geben wir den Preis nicht Petit? Er hat bemerkenswerte Werke wie „Géométricon“, „Trou Noir“ und „Topologicon“ geschrieben.

• Ja, aber er hat nicht nur das getan.

• Worauf wollen Sie hinaus?

• Er hat auch das „Mur du Silence“ geschrieben.

• Ah, dann...

Ja, das „Mur du Silence“, veröffentlicht 1983, ist ein Album, das der MHD gewidmet ist. Und wie jeder von uns weiß, hat diese corrosive Wissenschaft den Vorteil, oder den Nachteil, dass Flugzeuge mit Überschallgeschwindigkeit ohne „Bang“ bewegen können.

„Verstecken Sie diese Wissenschaft, die ich nicht sehen kann“

Ich habe eine wundervolle Version des „Wendens des Würfels“ in meinen Schachteln, die nicht die polyedrische Version der Morin-Variante ist. Alles aus meinem eigenen Kopf. Eines Tages...

22. Oktober 2003 : Auf diesen Seiten wird nicht allzu sehr gearbeitet, wenn ich dem Zähler glauben darf. Am Montag, dem 13. Oktober 2003, hielt ich einen Vortrag am CMI (Zentrum für Mathematik und Informatik von Château-Gombert-Marseille) auf Einladung von Trotman. An diesem Tag konnte ich eine Sammlung von etwa dreißig Kartonmodellen präsentieren, von denen Sie eines Tages die Vorlage genießen können, da sie von Christophe Tardy fotografiert wurden.

Bei einem Vortrag entsteht eine gewisse Atmosphäre. In dem Foto unten sehen Sie einen Geometer, der seine Verwirrung ausdrückt.

Auf dem Hintergrund eine Teil der Modellchen, die mit Hilfe meines langjährigen Mitarbeiters Boris Kolev, Mitglied des Departments, auch Geometer, präsentiert wurden. Zu einem Zeitpunkt stellte ich die Frage:

• Wie viele von Ihnen haben schon einmal eine Steiner-Romische Fläche gesehen? Heben Sie die Hand.

Niemand hatte sie jemals gesehen. Ich fand es also nützlich, dieses Objekt vorzustellen, mit einem virtuellen Realitätsprogramm auf meinem Laptop, das mit Hilfe von Christophe Tardy, Ingenieur, und Frédéric Descamp, vom Institut Laue Langevin in Grenoble (ILL), erstellt wurde. Offensichtlich verwirrte diese Präsentation das Publikum, das nicht gewohnt war, mathematische Flächen in ihrer Freiheit zu sehen.

Zwei Kartontafeln, die in der Vordergrund zu sehen sind, ermöglichten es, die gesamte Folge der Modellchen in ihrer logischen Reihenfolge darzustellen. Die grünen und gelben Modelle illustrieren in polyedrischer Form das wesentliche Werkzeug für die Erzeugung und Auflösung eines Paares von Kuspidalpunkten. Das weiter entfernte weiße Objekt ist eine polyedrische Version der Cross Cap-Fläche, die zunächst in eine polyedrische Version der Steiner-Romischen Fläche übergeht, dann, einen Meter weiter, nach Belieben in eine rechte oder linke Boy-Oberfläche.

Die Analyse der Modellchen löst verschiedene Beobachtungen im Publikum aus. Ein Geometer fragt:

*- Wenn es wahr ist, dass man, indem man die Modelle in dieser Reihenfolge verfolgt, von der Cross Cap-Fläche zur Boy-Fläche gelangen kann, scheint es, dass man, indem man den umgekehrten Prozess verfolgt, eine Boy-Fläche in eine Cross Cap-Fläche verwandeln kann. *

Ich antworte positiv. Ermutigt fügt mein Gesprächspartner hinzu:

*- Dann, wenn man bei der Stufe der Steiner-Romischen Fläche anhält, sollte es möglich sein, zurück zu einer Boy-Fläche zu gelangen, aber gespiegelt gegenüber der ursprünglichen. *

Ich stimme zum zweiten Mal zu. Aber leider wird niemand vorschlagen, etwas Klarheit über diese seltsame Welt zu geben, in der es erlaubt ist, dass die Einbettungen geschlossener Flächen Kuspidalpunkte haben, die paarweise erzeugt oder aufgelöst werden, deren Gesamtheit eine Art Erweiterung der Welt der Einbettungen darstellt. Der Begriff „Summersion“ erscheint mir passend. Wenn ein Leser in der Lage ist, etwas Klarheit zu geben, ist er willkommen.

Krummung konzentriert in einem Kuspidalpunkt.

Wir berechnen sie, indem wir die Winkel an den Ecken summieren und diese Summe mit dem Ergebnis vergleichen, das man im Fall der euklidischen Ebene erhält: 2 p .

Oben links können Sie eine der vielen möglichen polyedrischen Darstellungen eines Kuspidalpunktes sehen. „Demontiert“ man die Fläche, erhält man eine Winkelsumme, die den Wert 2p um 2a übertrifft. Es folgt, dass die konzentrierte Winkelkrümmung um diesen Punkt C gleich - 2a ist. Wenn der Winkel a gleich p/2 ist, dann beträgt die negative Krümmung -p (Abbildung unten links). Tatsächlich kann die Krümmung eines Kuspidalpunktes unendlich viele Werte annehmen. Unten rechts betonen wir die Winkelsumme und die Krümmung wird dann < -p (wir haben die negative Krümmung erhöht).

Durch Umkehrung des Vorgangs können wir zu einer ziemlich überraschenden Situation gelangen: Wir können es so einrichten, dass die (winkelbasierte) Krümmung, die um C konzentriert ist, ... null ist:

Wir beginnen nun mit einer polyedrischen Darstellung der Cross Cap-Fläche, in der zwei Kuspidalpunkte vorkommen, von denen jeder eine Krümmung von -p hat:

In dieser Figur gibt es acht „Posiconi“ mit einem Wert von + p/2. Wir fügen vier weitere „Posiconi“ mit einer Krümmung von + p/4 und vier „Negaconi“ mit einer Krümmung von - p/4 hinzu.

Plus die beiden Kuspidalpunkte mit einer Krümmung von - p .

Gesamt: 2 p

Indem wir den Wert dieser „gesamten Krümmung“ durch 2p teilen, erhalten wir den Wert der Euler-Poincaré-Charakteristik jeder Darstellung der projektiven Ebene (oder der Boy-Fläche).

Während des Vortrags erwähnte ich die Kunst und die Art, die beiden Kuspidalpunkte einer Cross Cap-Fläche durch die Umkehrung der Kugel zu vertauschen. Ich weiß nicht mehr ...