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Wie man eine Cross-Cap-Fläche in eine Boy-Fläche (rechts oder links, nach Wahl) verwandelt, indem man über die römische Steiner-Fläche geht.

Italienisch
: Andrea Sambusetti, Universität Rom

27. September - 25. Oktober 2003

Seite 4

Wir präsentieren das Modell noch aus einem anderen Blickwinkel:

Tafel 14: Wir wiederholen immer dieselbe Operation und erzeugen dabei das dritte „Ohr" der Selbstschnittkurve. Im polyedrischen Modell hat diese die Form von drei Quadraten mit einem gemeinsamen Eckpunkt: dem dreifachen Punkt T.

Tafel 15: Wenn Sie das Objekt drehen, finden Sie die polyedrische Version der Boy-Fläche wieder, die ich im Topologicon vorgestellt hatte (wo Sie auch einen Montageplan finden, mit dem Sie sie bauen können).

Letzte Tafel: Ich habe versucht, die Steiner-Fläche zu illustrieren, während sie sich windet und sich in eine Boy-Fläche verwandelt.

Wir sehen, dass es, in „Rundform" gezeichnet, ziemlich viel Übung braucht, um sie zu verstehen. Unser Auge ist sehr unbehaglich, wenn es darum geht, ein Objekt zu erfassen, bei dem sich auf derselben Sichtlinie mehr als zwei Blätter überlagern. Daher das Interesse des polyedrischen Modells, das jedem – sofern er nur versucht, die Modellchen selbst zu bauen – jene in der Geometrie als kompliziert geltenden Verwandlungen zugänglich macht. Nebenbei bemerken wir, dass man je nach Wahl der Paare von Spitzenpunkten eine „rechte" oder „linke" Boy-Fläche erhält (völlig willkürliche Definitionen). Die projektive Ebene taucht vermittels zweier spiegelbildlicher „antiautomorpher" Darstellungen in den Raum ein. Wir sehen also auch, dass man von einer rechten Boy-Fläche zu einer linken Boy-Fläche über ein „zentrales" Modell gelangen kann, nämlich die römische Steiner-Fläche.

Es wäre zweifellos schön, wenn diese Zeichnungen in Zeitschriften wie Pour la Science oder La Recherche veröffentlicht würden. Aber seit zwanzig Jahren ist mir die Veröffentlichung in diesen Zeitschriften wegen ufologischen Abweichlertums „verboten". Danke, meine Herren Hervé This und Philippe Boulanger. Ich habe die Zahl der Artikel dieser Art verloren, die ich diesen Zeitschriften angeboten habe und die mir freundlicherweise abgelehnt wurden. Am Ende gewöhnt man sich an seinen Status als Exkommunizierter.

Anekdotisch sei erwähnt, dass es einen „d'Alembert-Preis" gibt, der dazu bestimmt ist, die Autoren von Büchern zur Mathematikpopularisierung zu belohnen. Die Geschichte wurde mir von einem Mitglied der Kommission erzählt, die darüber zu entscheiden hatte, wem der Preis zuzuerkennen sei (es stehen ohnehin Geldangelegenheiten dahinter). Dialog:

• Also, warum geben wir den Preis nicht Petit? Er hat bemerkenswerte Werke wie das „Géométricon", das „Trou Noir" und das „Topologicon" geschrieben.

• Ja, aber das hat er nicht allein gemacht.

• Worauf spielen Sie an?

• Er hat auch die „Mur du Silence" geschrieben.

• Ah, na ja, dann....

Nun ja, die „Mur du Silence", 1983 erschienen, ist ein Album, das der MHD gewidmet ist. Und wie jeder von uns weiß, hat diese korrosive Wissenschaft den Vorzug oder den Nachteil, dass sie es fliegenden Untertassen erlaubt, sich mit Überschallgeschwindigkeit zu bewegen, ohne Bang zu machen.

« Cachez cette science, que je ne saurais voir »

Ich habe in meinen Kisten eine großartige Version der „Umstülpung des Würfels", die nicht die polyedrische Version der Morin-Variante ist. Alles aus meiner eigenen Feder. Eines dieser Tage....

22. Oktober 2003: Man hetzt nicht allzu sehr über diese Seiten, wenn ich dem Zähler glauben soll. Am Montag, dem 13. Oktober 2003, habe ich auf Einladung von Trotman ein Seminar am CMI (Centre de Mathématique et d'Informatique de Château-Gombert-Marseille) gehalten. Bei dieser Gelegenheit konnte ich eine Sammlung von etwa dreißig Pappmodellen hervorholen, deren Erstlingsfrüchte Sie eines Tages genießen können, da sie von Christophe Tardy fotografiert wurden.

Wenn man ein Seminar hält, entsteht eine gewisse Atmosphäre. Auf dem Foto unten drückt ein Geometer seine Ratlosigkeit aus.

Im Hintergrund ein Teil der ausgestellten Modellchen, mit Hilfe meines langjährigen Mitarbeiters Boris Kolev, Mitglied der Abteilung, ebenfalls Geometer. Irgendwann stellte ich die Frage:

• Wie viele von Ihnen haben schon einmal eine römische Steiner-Fläche gesehen? Heben Sie die Hand.

Niemand hatte sie je gesehen. Es schien mir daher nützlich, dieses Objekt mit einem Virtual-Reality-Programm auf dem Laptop vorzustellen, den ich dabeihatte, ein Programm, das mit Hilfe von Christophe Tardy, Ingenieur, und Frédéric Descamp vom Institut Laue Langevin in Grenoble (ILL) realisiert wurde. Offensichtlich verwirrt diese Präsentation das Publikum, das wenig daran gewöhnt ist, mathematische Flächen nach Belieben Kapriolen schlagen zu sehen.

Zwei Papptafeln, im Vordergrund sichtbar, ermöglichten es, die ganze Abfolge von Modellchen in ihrer logischen Reihenfolge vorzustellen. Die grünen und gelben Modelle veranschaulichen in polyedrischer Form das wesentliche Werkzeug des Erzeugens-Auflösens eines Paares von Spitzenpunkten. Das am weitesten entfernte weiße Objekt ist eine polyedrische Version der Cross-Cap-Fläche, die sich zuerst in eine polyedrische Version der römischen Steiner-Fläche verwandelt, dann, einen Meter weiter, nach Wahl in eine „rechte" oder „linke" Boy-Fläche.

Die Analyse der Modellchen ruft im Publikum verschiedene Beobachtungen hervor. Einer der Geometer fragt:

- Wenn es stimmt, dass man, indem man den Modellchen in dieser Reihenfolge folgt, von der Cross-Cap-Fläche zu jener von Boy gelangen kann, scheint es, dass man, indem man dem umgekehrten Verfahren folgt, eine Boy-Fläche in eine Cross Cap verwandeln kann.

Ich antworte bejahend. Ermutigt fügt mein Gesprächspartner hinzu:

- Dann müsste es, wenn man auf der Stufe der römischen Steiner-Fläche anhält, möglich sein, zu einer Boy-Fläche zurückzukehren, aber gespiegelt gegenüber der Ausgangsfläche.

Ich stimme ein zweites Mal zu. Aber leider wird sich niemand anbieten, zu dieser seltsamen Welt einige Erläuterungen zu geben, in der man den Immersionen geschlossener Flächen erlaubt, Spitzenpunkte zu haben, die paarweise erzeugt oder aufgelöst werden und deren Gesamtheit eine Art Erweiterung der Welt der Immersionen darstellt. Der Begriff „Summersion" scheint mir passend. Wenn ein Leser einige Erläuterungen geben kann, ist er willkommen.

In einem Spitzenpunkt konzentrierte Krümmung.

Wir werden sie berechnen, indem wir die Winkel am Scheitelpunkt summieren und diese Summe mit dem Ergebnis vergleichen, das man im Fall der euklidischen Ebene erhält: 2 p.

Oben links sehen Sie eine der vielen möglichen polyedrischen Darstellungen eines Spitzenpunkts. „Zerlegt" man die Fläche, gelangt man zu einer Winkelsumme, die den Wert 2p um 2a übersteigt. Daraus folgt, dass die um diesen Punkt C konzentrierte Winkelkrümmung - 2a beträgt. Wenn der Winkel a gleich p/2 ist, dann beträgt die negative Krümmung -p (Abbildung unten links). Tatsächlich kann die Krümmung eines Spitzenpunkts unendlich viele Werte annehmen. Unten rechts verstärken wir die Winkelsumme, und die Krümmung wird dann < -p (wir haben die negative Krümmung erhöht).

Indem wir umgekehrt verfahren, können wir zu einer recht überraschenden Situation gelangen: Wir können erreichen, dass die in C konzentrierte (Winkel-)Krümmung ... null ist:

Gehen wir nun von einer polyedrischen Darstellung der Cross-Cap-Fläche aus, in der zwei Spitzenpunkte mit jeweils einer Krümmung von -p vorkommen:

In dieser Abbildung gibt es acht „Posikonen" entsprechend dem Wert + p/2. Fügen wir vier weitere „Posikonen" mit Krümmung + p/4 und vier „Negakonen" mit Krümmung - p/4 hinzu.

Plus die beiden Spitzenpunkte mit Krümmung - p.

Gesamt: 2 p

Teilt man den Wert dieser „Gesamtkrümmung" durch 2p, so findet man den Wert der Euler-Poincaré-Charakteristik jeder Darstellung der projektiven Ebene (oder der Boy-Fläche) wieder.

Im Laufe der Konferenz habe ich die Kunst und die Art und Weise erwähnt, die beiden Spitzenpunkte einer Cross-Cap-Fläche mit Hilfe der Umstülpung der Sphäre zu vertauschen. Ich weiß nicht mehr, ob ich diese Sache irgendwo auf meiner Website untergebracht habe. Es ist ein solches Wirrwarr. Ich werde wohl suchen müssen, sonst füge ich es hinzu. Es ist lustig. Tatsache ist, dass diese Operation einer der beim Seminar anwesenden Personen ganz und gar nicht gefiel:

• Ich sehe nicht, warum Petit so viel Gerät bemüht, um die Symmetrie zu beweisen, die die beiden Spitzenpunkte einer Cross Cap verbindet. Das kann man viel einfacher machen.

Und er zeichnete an die Tafel eine zwischen zwei sich berührenden Linealen eingeklemmte Sphäre, die tatsächlich eine Selbstschnittmenge in Form einer Strecke ergibt, an deren Enden sich zwei Spitzenpunkte befinden, wie bei der Cross-Cap-Fläche. Leider, und der besagte Herr bemerkte es, ist dies nicht die Cross-Cap-Fläche.

• Teufel, was ist das dann? Fragte jemand.

Es ist einfach die Immersion einer Sphäre mit zwei Spitzenpunkten. Lässt man diese zu einem einzigen Punkt zusammenfließen, erhält man eine Selbstschnittlinie, die zu einem Kreis wird. Und man erhält (unten rechts) eine Immersion der Sphäre, die wir nur noch in ihr Standard-Embedding verwandeln müssen. Wir können auch eine polyedrische Darstellung dieser Fläche geben:

Es handelt sich um eine zweiseitige Fläche, deren Gesamtkrümmung 2p beträgt.

Kurzum, man kann sich mit diesen „Summersionen" ziemlich gut amüsieren. Betrachten wir eine Immersion eines Torus, die man erhält, indem man das Symbol „Unendlich" um eine Achse dreht:

Die Technik, Spitzenpunkte zu einem einzigen Punkt zusammenfließen zu lassen, erlaubt es uns, rasch zum Standard-Embedding des Torus zu gelangen, wie oben in den aufeinanderfolgenden Zeichnungen erklärt.

Aber die Dinge sind nicht immer so einfach und offensichtlich. Nehmen wir zum Beispiel eine zwischen zwei Strecken eingeklemmte Sphäre, die diesmal kürzer als der Durchmesser sind. Wir erhalten wieder zwei Spitzenpunkte.

Da diese Fläche ein Möbiusband enthält, ist sie einseitig. Wir haben daneben eine polyedrische Darstellung gestellt, die es erlaubt, ihre Gesamtkrümmung zu berechnen. Wir finden dann null. Wenn ich mich nicht irre, sollte es dann eine Kleinsche Flasche sein. Von dieser kennt man im Allgemeinen nur die klassische Immersion, in der die Selbstschnittlinie ein einfacher Kreis ist. Aber es gibt andere, wie diese hier. Ich gestehe, dass ich noch nicht den Weg gefunden habe, sie in eine übliche Kleinsche Flasche zu verwandeln. Andererseits weiß ich auch nicht, ob diese „Immersion" und jene klassische in derselben Homotopieklasse liegen (für die Sphäre zum Beispiel gibt es nur eine). A priori ist das nicht gesagt: Der Torus kann nämlich auf vier verschiedene Arten in den dreidimensionalen Raum immersiert werden, die nicht durch eine reguläre Homotopie ineinander überführt werden können. In Erwartung der Entdeckung, ob es in diesem Fall möglich ist oder nicht, habe ich mich damit vergnügt, sie zu verwandeln, indem ich zwei weitere Spitzenpunkte erzeugte und so zwei durch ein Rohr verbundene Cross Caps erhielt. Zerlegt man sie, findet man wieder, dass die Euler-Poincaré-Charakteristik null ergibt.

Diese seltsame Fläche sollte sich in eine der 4 möglichen Immersionen der Kleinschen Flasche verwandeln, aber in welche? In jedem Fall hier eine, die man erhält, indem man eine 8 um eine Achse dreht, während sie selbst gleichzeitig eine halbe Drehung um sich selbst ausführt:

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