Italienisch
: Andrea Sambusetti, Universität Rom
Klicken Sie hier, um die Zeichnung des Modells im Maßstab 1:1 erscheinen zu lassen, zum Ausdrucken und Ausschneiden.
Wenn Sie vier Exemplare davon auf Bristolkarton in zwei verschiedenen Farben fotokopieren,
können Sie das Modell selbst bauen,
indem Sie die Anweisungen zum Zusammenbau befolgen.
Sie haben sicher schon einen bizarren Gegenstand gesehen, der unermüdlich
auf der linken Seite der Startseite dieser Website rotiert. Worum handelt es sich?
Eines Tages, wenn ich Zeit finde, werde ich
auf dieser Website eine Beschreibung der Umstülpung der Sphäre einrichten, so wie
ich sie in der Ausgabe von Pour la Science vom Januar 1979 illustriert hatte, also...
vor 22 Jahren! All das wird viele Details und eine Einführung erfordern.
Was bedeutet „eine Sphäre umstülpen"? Eine Sphäre hat nicht dieselbe
Bedeutung für den gewöhnlichen Menschen und für den Mathematiker-Geometer. Für den gewöhnlichen Menschen
ist sie nichts anderes als der Ort der Punkte des Raums, die sich in einem Abstand
R von einem festgelegten Punkt O befinden. Ein Geometer wird hingegen weiterhin „Sphäre"
auch einen Gegenstand nennen, der einer „verformten Sphäre" entspricht,
wie zum Beispiel einer Kartoffel. Um diese Konzepte genauer zu verstehen,
besorgen Sie sich die CD von Lanturlu mit dem Comic „Topologicon".
Aber der Mathematiker geht noch ein wenig weiter. Eine Fläche wird
als „regulär" bezeichnet, wenn in jedem ihrer Punkte eine
Tangentialebene definiert werden kann. Das erlaubt bereits, an eine Unendlichkeit
möglicher regulärer Verformungen der Sphäre zu denken, in die unendlich vielen möglichen Formen
einer Kartoffel, wobei zudem die Fläche dieser Fläche beliebig variiert werden kann.
Nachdem dies gesagt ist, wird sich in unserem physischen Universum eine Person, die versucht, die
Sphäre umzustülpen (das heißt ihre Innenfläche nach außen zu bringen), der
Unmöglichkeit gegenübersehen, ihre Fläche sich selbst durchdringen zu lassen. Wenn man diese Hypothese annimmt, das heißt verbietet, dass die Fläche
sich selbst durchdringt oder auch nur sich „berührt", spricht der Mathematiker
von einer Einbettung der Sphäre S2. Aber ein Mathematiker erlaubt sich immer alles. Eine
Sphäre ist für ihn ein „virtueller" und nicht materieller Gegenstand,
bei dem das Durchdringen einer Schicht als möglich betrachtet wird. Die Folge
von Zeichnungen hier unten zeigt eine Sphäre, die sich selbst durchdringt. Eine solche Darstellung,
die also Selbsturchdringungen zulässt, wird
eine Immersion genannt.
Eine Immersion besitzt folglich eine Menge von Selbstüberschneidungen
(hier handelt es sich um eine einfache kreisförmige Kurve). Die Tangentialebene jedoch
muss sich stetig verändern. Nach dieser Vorbemerkung sieht man beim Betrachten der Zeichnung
oben deutlich, dass die Operation einen Teil der Innenfläche
(in Grün dargestellt) nach außen bringt. Um die Umstülpung zu vollenden, müsste man
diese Art äquatorialen Darm plattdrücken. Hier scheint es ein Problem zu geben:
Dieses Plattdrücken würde die Stetigkeit der Tangentialebene zerstören,
und diese Transformation würde daher einen Schritt enthalten, der keine Immersion ist.
Eines Tages bewies ein amerikanischer Mathematiker, Stephen Smale,
dass „die Sphäre S2 nur eine einzige Klasse von Immersionen besitzt". Dieser
sibyllinische Satz hatte als Korollar die Tatsache, dass man durch eine Transformation, die nur echte Immersionen enthält, von der „standardmäßigen"
Sphäre zu ihrer „antipodalen" Darstellung gelangen können müsste, das heißt, in der jeder Punkt
mit seinem Antipoden vertauscht ist: mit einfachen Worten... eine umgestülpte Sphäre.
Raoul Bott war Smales Chef. So korrekt der formale Beweis dieser Tatsache
zu sein schien, so schien niemand fähig zu sein, diese Operation der Umstülpung konkret zu verwirklichen. Bott fragte Smale immer wieder: „Zeigen
Sie mir, wie Sie vorgehen würden"; worauf Smale, bekanntlich
nicht auf den Mund gefallen, antwortete: „Ich habe nicht die geringste Ahnung."
Smale erhielt später die Fields-Medaille, das Äquivalent des Nobelpreises für die Mathematik.
Nebenbei werden Sie sich vielleicht fragen, warum es keinen Nobelpreis für
Mathematik gibt. Die Antwort ist einfach: Seine Frau ist mit
einem Mathematiker durchgebrannt.
Die Dinge blieben eine ganze Weile so,
bis ein amerikanischer Mathematiker namens Anthony Phillips 1967
im Scientific American eine erste Version dieser Umstülpung veröffentlichte,
die äußerst kompliziert war. Die zweite wurde Anfang der siebziger Jahre
vom französischen Mathematiker (und Blinden) Bernard Morin erfunden. Ich war der Erste, der
die Folge der Transformationen zeichnete, die, wie ich Ihnen angekündigt habe, Gegenstand
eines nächsten Artikels auf dieser Website sein wird, die ohnehin recht reichhaltig ist. Wie dem auch sei, all
das führt uns zu einer Überlegung. Flächen können in
polyedrischer Form dargestellt werden. Ein Würfel oder ein Tetraeder können als
polyedrische Darstellungen der Sphäre betrachtet werden, in dem Sinne, dass diese Gegenstände
dieselbe Topologie haben. Konsultieren Sie zu diesem Punkt mein Topologicon. Außerdem
versteht man, dass, wenn es möglich ist, die Sphäre umzustülpen, es ebenso
möglich sein wird, einen Würfel umzustülpen. Die von Bernard Morin erfundene Transformation (die
ich im Artikel vom Januar 1979 in Pour la Science illustriert habe) führt über ein
zentrales Modell. In dieser Folge gibt es eine Symmetrie. Es ist die, die
ich „zentrales Modell mit 4 Ohren" nenne. Ich greife den Dingen vor.
Wie auch immer, so wie sich die Sphäre für polyedrische Darstellungen eignet, gilt
gleichermaßen für die aufeinanderfolgenden Schritte dieser Transformation. Was Sie auf meiner Startseite rotieren sehen, ist die polyedrische Version des zentralen Modells
der Umstülpung der Sphäre, die ich vor etwa zehn Jahren erfunden habe. Das Interesse
an solchen polyedrischen Modellen liegt in der Tatsache, dass man sie mit
ebenen Flächen bauen kann. Man kann sie auch mit Papier und Schere bauen. Werfen Sie einen Blick
auf die Zeichnung hier unten (ich danke in Klammern meinem Freund Christophe Tardy,
der die Elemente im richtigen Maß hergestellt hat).
Es ist ein Montageplan, von dem Sie hier eine Gesamtansicht haben. Aber zum Ausdrucken sollten Sie besser zur Seite découpage gehen.
Drucken Sie sie aus. Danach fotokopieren Sie, ausgestattet mit diesem auf dem üblichen
Papier Ihres Druckers gedruckten Exemplar, 4 identische Kopien, zwei auf grünem
Bristolkarton und zwei in Gelb. Mit Hilfe dieser auszuschneidenden Blätter
werden Sie in der Lage sein, das zentrale Modell der Umstülpung des Würfels zu bauen.
Auf den auszuschneidenden Elementen gibt es Buchstabenpaare
: a , b c , d , e , f usw.... Es genügt, das Blatt zu falten und die gleichen Buchstaben
zur Deckung zu bringen, und dann die Flächen mit transparentem Klebeband
zu befestigen. Die folgenden Zeichnungen zeigen, wie man eines der vier
Teile zusammenbaut. Hier zunächst, wie man beginnen muss, eines der vier Elemente zu falten
:
Hier zwei der vier Elemente, aus verschiedenen Blickwinkeln gesehen.
Sie werden dann so angeordnet, dass sie einen Gegenstand
mit einer Symmetrie der Ordnung vier ergeben, in dem sich grüne und gelbe Elemente abwechseln.
Um ihn in 3D zu sehen, werfen Sie einen Blick auf Tardys Realisierung im Abschnitt
„virtuelle Realität". Das zentrale Modell ist in diesem Abschnitt montiert und auch
in „vrml" realisiert. Hier ist es aus verschiedenen
Blickwinkeln wiedergegeben:
Man kann nicht sagen, dass ein Blickwinkel
dem „Oben" und der andere dem „Unten" entspricht, da diese
Bezeichnungen vollkommen willkürlich sind. Im linken Bild entspricht der
„zentrale" Punkt dem „Doppelpunkt" (an dem sich zwei Schichten
kreuzen) des zentralen Modells von Morin, während der zentrale Punkt des Bildes
rechts dem „vierfachen Punkt" desselben Modells entspricht (an
dem sich vier Schichten kreuzen). Ich musste den Gegenstand mit großer Sorgfalt orientieren,
damit die linke Figur nicht an ein Hakenkreuz erinnert. Abgesehen davon
hätte diese polyedrische Darstellung des zentralen Modells von Morin aus architektonischer Sicht
ein schönes Projekt für ein Haus der
Nationalsozialistischen Kultur abgeben können.
Eine letzte Anmerkung: Es gibt keine gute polyedrische Darstellung
der Umstülpung der Sphäre (bzw. des Würfels). Mit „gut"
meine ich eine Folge ziemlich expliziter Modelle, die in Form von auszuschneidenden Blättern relativ leicht beschrieben werden können, wie das Modell
oben. Es wäre eine Studie in dieser Richtung nötig, die jedem zugänglich ist,
auch einem Nicht-Mathematiker, zum Beispiel einem Bildhauer. Vor mehr als zwanzig Jahren
war ich Bildhauerlehrer an der Ecole des Beaux-Arts in Aix en Provence,
zu der Zeit, als mein lieber Freund Jacques Boullier Direktor war. In jenen Räumen
entstand die erste meridiane Darstellung der Boy-Fläche mittels
Ellipsen, Schlüssel zur Konstruktion der ersten impliziten Gleichung von Apéry.
Ich muss sagen, dass ich schon damals von der geometrischen Vorstellungskraft
der Kunststudenten überrascht war, die oft die der... Geometer übertraf.
Zähler installiert am 31. Dezember 2001. Anzahl der
Verbindungen :