Topologische Kugelmodell Mathematische Modelle
Italienisch: Andrea Sambusetti, Universität Rom
Klicken Sie hier, um das 1:1-Modell zu sehen, das Sie ausdrucken und ausschneiden können.
Durch Kopieren von vier Exemplaren auf Karton in zwei verschiedenen Farben können Sie das Modell selbst bauen,
indem Sie die Anweisungen zum Zusammenbau befolgen
Sie haben sicherlich ein seltsames Objekt gesehen, das ununterbrochen auf der linken Seite der Startseite dieses Webseiten rotiert. Was ist das?
Eines Tages, wenn ich die Zeit finde, werde ich auf dieser Website eine Beschreibung des Kugelumstülpens einbauen, wie ich es im Januar 1979 in der Ausgabe von Pour la Science gezeigt habe, also... 22 Jahre her! Dies wird viele Details und eine Einleitung erfordern. Was bedeutet es, eine Kugel umzustülpen? Für den gewöhnlichen Menschen ist eine Kugel nichts anderes als der Ort der Punkte im Raum, die sich in einem Abstand R von einem festgelegten Punkt O befinden. Ein Geometer wird jedoch auch ein Objekt als „Kugel“ bezeichnen, das einer „verformten Kugel“ entspricht, wie beispielsweise eine Kartoffel. Um diese Konzepte genauer zu verstehen, beschaffen Sie sich die CD von Lanturlu mit dem Comic „Topologicon“. Aber der Mathematiker geht noch weiter. Eine Fläche wird als „regulär“ bezeichnet, wenn in jedem ihrer Punkte ein Tangentialplan definiert werden kann. Dies ermöglicht bereits, eine unendliche Anzahl von regulären Verformungen der Kugel zu denken, in unendlichen möglichen Formen einer Kartoffel, wobei die Fläche zusätzlich in beliebiger Weise verändert werden kann. Daraus folgt, dass in unserem physischen Universum eine Person, die versucht, die Kugel umzustülpen (also ihre innere Oberfläche nach außen zu bringen), vor der Unmöglichkeit steht, ihre Oberfläche selbst durchzuschneiden. Wenn man diese Annahme annimmt, also verbietet, dass die Oberfläche sich selbst durchschneidet oder sogar nur berührt, spricht der Mathematiker von einem „Einbettung“ der Kugel S2. Aber ein Mathematiker darf immer alles. Eine Kugel ist für ihn ein „virtuelles“ Objekt und nicht materiell, bei dem das Durchschneiden einer Fläche als möglich angesehen wird. Die nachfolgenden Bilder zeigen eine Kugel, die sich selbst durchschneidet. Eine solche Darstellung, die also Selbstüberschneidungen zulässt, wird als „Einbettung“ bezeichnet.
Eine Einbettung hat also eine Menge von Selbstüberschneidungen (hier handelt es sich um eine einfache Kreislinie). Der Tangentialplan muss jedoch kontinuierlich variieren. Unter dieser Voraussetzung, wenn man das obige Bild betrachtet, sieht man deutlich, dass die Operation einen Teil der inneren Oberfläche (in Grün dargestellt) nach außen bringt. Um die Umstülpung zu vollenden, müsste man diesen Art von Äquator-„Darm“ plätten. Hier scheint ein Problem zu sein: Dieses Plätten würde die Kontinuität des Tangentialplans zerstören, und diese Transformation würde also einen Schritt enthalten, der keine Einbettung ist.
Eines Tages bewies der amerikanische Mathematiker Stephen Smale, dass „die Sphäre S2 nur eine Klasse von Einbettungen besitzt“. Diese sibyllinische Aussage hatte zur Folge, dass man über eine Transformation, die nur echte Einbettungen enthält, von der „standardmäßigen“ Kugel zu ihrer „antipodalen“ Darstellung wechseln könnte, also in der jedes Element mit seinem Antipoden vertauscht wird: mit anderen Worten... eine umgestülpte Kugel. Raoul Bott war Smales Chef. Obwohl die formale Beweisführung dieses Faktes scheinbar korrekt war, schien niemand in der Lage zu sein, diese Umstülpung konkret zu realisieren. Bott fragte Smale immer wieder: „Zeigen Sie mir, wie Sie es sich vorstellen würden“; Smale, der bekannt dafür ist, keine Umstände zu machen, antwortete: „Ich habe keine Ahnung.“ Smale erhielt später die Fields-Medaille, das Äquivalent des Nobelpreises für Mathematik. Übrigens, Sie fragen sich vielleicht, warum es keinen Nobelpreis für Mathematik gibt. Die Antwort ist einfach: Seine Frau ist mit einem Mathematiker durchgebrannt.
So blieb es lange Zeit, bis ein amerikanischer Mathematiker namens Anthony Phillips 1967 in Scientific American eine erste Version dieser Umstülpung veröffentlichte, die äußerst kompliziert war. Die zweite wurde Anfang der 70er Jahre vom französischen Mathematiker (blinden) Bernard Morin erfunden. Ich war der Erste, der die Folge der Transformationen zeichnete, die Gegenstand eines nächsten Artikels auf dieser Website sein wird, was übrigens reichlich vorhanden ist. Immerhin führt uns dies zu einer Überlegung. Flächen können in polyedrischer Form dargestellt werden. Ein Würfel oder ein Tetraeder können als polyedrische Darstellungen der Kugel angesehen werden, in dem Sinne, dass diese Objekte die gleiche Topologie haben. In diesem Punkt, konsultieren Sie mein Topologicon. Außerdem ist klar, dass, wenn es möglich ist, die Kugel umzustülpen, es genauso möglich sein wird, einen Würfel umzustülpen. Die von Bernard Morin erfundene Transformation geht durch ein zentrales Modell. Es gibt eine Symmetrie in dieser Sequenz. Das ist die, die ich „zentrales Modell mit vier Ohren“ nenne. Ich erzähle Ihnen etwas vor. Immerhin, da die Kugel polyedrische Darstellungen zulässt, gilt dies auch für die folgenden Schritte dieser Transformation. Was Sie auf meiner Startseite rotieren sehen, ist die polyedrische Version des zentralen Modells der Kugelumstülpung, das ich vor etwa zehn Jahren erfunden habe. Der Vorteil solcher polyedrischer Modelle besteht darin, dass sie mit ebenen Flächen gebaut werden können. Sie können auch mit Papier und Schere gebaut werden. Schauen Sie sich das folgende Bild an (ich danke hierbei meinem Freund Christophe Tardy, der die richtigen Elemente produziert hat).
Es handelt sich um einen Montageplan, den Sie hier allgemein sehen. Um ihn auszudrucken, ist es jedoch besser, auf die Seite „Decoupage“ zu wechseln. Drucken Sie sie aus. Danach, mit diesem Exemplar, das Sie auf dem üblichen Papier Ihrer Drucker ausgedruckt haben, kopieren Sie vier identische Exemplare, zwei auf grünem Karton und zwei in Gelb. Sie werden in der Lage sein, mit diesen auszuschneidenden Blättern das zentrale Modell der Würfelumstülpung zu bauen.
Auf den auszuschneidenden Elementen gibt es Paare von Buchstaben: a, b, c, d, e, f usw. Es reicht aus, das Blatt zu falten, wobei die gleichen Buchstaben übereinstimmen, und dann die Flächen mit transparentem Klebeband zu befestigen. Die folgenden Bilder zeigen, wie man eines der vier Teile zusammenbauen muss. Zunächst zeigt es, wie man eines der vier Elemente falten muss:
Hier sind zwei der vier Elemente, von unterschiedlichen Winkeln betrachtet.
Sie werden dann so angeordnet, dass ein Objekt mit einer Viertel-Symmetrie entsteht, in dem grüne und gelbe Elemente abwechseln. Um es in 3D zu sehen, werfen Sie einen Blick auf die Realisierung von Tardy, im Abschnitt „virtuelle Realität“. Das zentrale Modell ist montiert und auch in „vrml“ in diesem Abschnitt realisiert. Hier ist es aus verschiedenen Blickwinkeln wiedergegeben:
Man kann nicht sagen, dass ein Blickwinkel dem „oben“ und der andere dem „unten“ entspricht, da diese Bezeichnungen vollkommen willkürlich sind. In dem Bild auf der linken Seite entspricht der „zentrale“ Punkt dem „doppelten“ Punkt (in cu...