Umwandlung der Cross Cap in eine Boy-Fläche, über die Steiner-Romfläche
Wie man eine Cross Cap in eine Boy-Fläche (rechts oder links, nach Wahl) über die Steiner-Romfläche umwandelt.
27. September - 25. Oktober 2003
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Hier ist eine Cross Cap (wie Sie sie in den Bildern der virtuellen Realität entdeckt haben). Sie hat zwei kuspide Punkte, die eine Linie der Selbstüberschneidung begrenzen. Sie können sie herstellen, indem Sie einen Ballon mit einem Lockenstab einklemmen. Aber Sie können auch polyedrische Darstellungen davon bauen. Die unten abgebildete wird uns besonders interessieren.
Auf dieser Tafel 4 befindet sich der schwierigste Moment zu verstehen. Mir scheint es fast unmöglich, dass ein zufälliger Passant diese Figuren versteht, wenn er sie nur anblickt. Bauen Sie diese Modelle. Kurz gesagt, man zieht den kuspiden Punkt C2 in „die Innenfläche der Fläche“ (was im Übrigen keinen Sinn ergibt, da Sie sicherlich sofort bemerkt haben, dass die Cross Cap einseitig ist. Wenn man die Fläche weiter verformt, durchschneidet sie sich selbst und das gesamte Selbstüberschneidungsgebiet wird durch eine Kurve in Form einer Acht vervollständigt. Dabei entsteht ein dreifacher Punkt T.
Die Fläche ist unter ihrer polyedrischen Form leichter zu verstehen und unten haben wir bestimmte Elemente vergrößert, um zu zeigen, was uns veranlasst, dieses Objekt in eine Steiner-Romfläche (siehe virtuelle Realität) zu verwandeln, deren einfachste polyedrische Form darin besteht, vier Würfel zusammenzusetzen (hier sieht man nur drei davon).
Tafel 5: Das polyedrische Objekt auf der linken Seite, das „rondouillard“ auf der rechten Seite. Der Pfeil nimmt einen Weg, den wir „einklemmen“ werden. Unten ist der Beginn des Einklemmens.
Tafel 6: Das Einklemmen erfolgt durch die Erzeugung eines singulären Punktes B. Tatsächlich, da man von beiden Seiten einklemmt, um Zeit zu sparen; es entstehen zwei singuläre Punkte S1 und S1 sowie zwei Paare kuspider Punkte. Da Sie ohne Karton, Schere und Klebeband schlecht dran sind.
Tafel 7: Wir haben einfach die verschiedenen kuspiden Punkte verschoben. Wenn der Punkt C2 „offensichtlich“ ist, haben Sie etwas mehr Schwierigkeiten, die Punkte C3 und C4 als kuspide Punkte zu erkennen. Sie sind jedoch an dem Ende einer Linie der Selbstüberschneidung vorhanden. Über dem Punkt C3 befindet sich einfach das, was ich einen „posicoin“ genannt habe, einen Punkt mit positiver Krümmungskonzentration (ein Punkt mit negativer Krümmungskonzentration ist ein „négacoin“). Wenn man dieses Objekt etwas verformt, erhält man eine polyedrische Form der Steiner-Romfläche (die vierte Gradfläche, die von Steiner in Rom erfunden wurde. Siehe ihre Darstellung in der virtuellen Realität).
Also ist der Trick gelungen. Es gibt verschiedene Arten von Flächen, je nach den Regeln, die man sich auferlegt. Flächen, die sich nicht selbst durchschneiden, werden als Einbettungen bezeichnet (der Kugel, des Torus in R3). Wenn sie sich selbst durchschneiden, aber die Tangentialebene kontinuierlich variiert, nennt man sie Immersionen. Beispiel: die Klein'sche Flasche in ihrer klassischen Darstellung. Es gibt in R3 keine Darstellung der Klein'schen Flasche als Einbettung. Sie muss sich unbedingt selbst durchschneiden. Immersionen besitzen Selbstüberschneidungsmengen, die keine kuspiden Punkte enthalten. Diese Kurven sind stetig, können aber an Stellen mit doppelten oder dreifachen Punkten kreuzen. Hinweis: Die Kugel kann als Immersion dargestellt werden, indem man sie einfach selbst durchschneidet. Genau das ist der Weg, um die Kugel umzudrehen (A. Phillips, 1967, mit als zentraler Stufe das zweiblättrige Überlagerung einer Boy-Fläche; B. Morin und J.P. Petit, 1979, mit dem zentralen Modell des vier Ohren-Modells von Morin, das ich vor etwa zehn Jahren erfunden habe und das unten abgebildet ist.
Plan für die Montage dieses Objekts mit einem Schnitt
Wenn man die Spielregel erweitert und annimmt, dass diese Objekte kuspide Punkte besitzen, erhält man Submersionen (die Cross Cap, die Steiner-Romfläche). Ich weiß nicht, ob das das richtige Wort ist, aber da ich keinen Mathematiker gefunden habe, der mir helfen konnte, fand ich es amüsant, eines zu erfinden, vorläufig, bis ein Experte in Geometrie auftaucht. Somit wären die Cross Cap und die Steiner-Romfläche Submersionen des projektiven Plans.
Um es ganz ehrlich zu sagen, nach meinen Schwierigkeiten mit MHD über 25 Jahre hatte ich diese Arbeiten begonnen, weil sie mir so fern wie möglich von jeder militärischen Anwendung erschienen. Aber, wie mein alter Freund Mihn bemerkte, könnte der Begriff „Submersion“ missverständlich sein und den Eindruck erwecken, dass ich durch diese Forschungen eine Fortschritt in der Unterwasserantriebstechnik verbergen würde.
Die Regel der „Erzeugung- und Zerstörung“ von Paaren kuspider Punkte ermöglicht es, von einer Submersion eines Objekts zu einer anderen zu wechseln, und das haben wir gerade getan, indem wir zeigten, dass die Cross Cap und die Steiner-Romfläche zwei Submersionen eines gleichen Objekts namens projektiver Plan sind. Suchen Sie nicht danach, wie ein „projektiver Plan“ aussieht. Dieses Objekt kann nur durch seine verschiedenen Darstellungen verstanden werden. Was den Begriff „projektiver Plan“ angeht, so ist das nur einer von tausend anderen von Mathematikern erfundenen Begriffen, um diejenigen zu verwirren, die in ihren Kreis eindringen möchten. Das Larousse wird Ihnen in der Mathematik nicht helfen.
Wir müssen uns nun der Boy-Fläche zuwenden, die eine Immersion des projektiven Plans ist
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