Umwandlung der Cross Cap in eine Boy-Fläche, über die Steiner-Romfläche
Wie man eine Cross Cap in eine Boy-Fläche (rechts oder links, nach Wahl) über die Steiner-Romfläche umwandelt.
**27. September - 25. Oktober 2003 **
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Hier ist eine Cross Cap (wie Sie sie in den Bildern der virtuellen Realität entdeckt haben). Sie hat zwei kuspide Punkte, die eine Linie der Selbstüberschneidung begrenzen. Sie können sie herstellen, indem Sie einen Ballon mit einem Glätteisen einklemmen. Aber Sie können auch polyedrische Darstellungen davon bauen. Die unten stehende wird uns besonders interessieren.
Auf dieser Tafel 4 befindet sich der schwierigste Moment zu verstehen. Es scheint mir fast unmöglich, dass ein zufälliger Mensch diese Figuren versteht, wenn man sie nur anblickt. Bauen Sie diese Modelle. Kurz gesagt, man zieht den kuspiden Punkt C2 in „die Innenseite der Fläche“ (was im Vorbeigehen keinen Sinn hat, da Sie sicherlich sofort bemerkt haben, dass die Cross Cap einseitig ist. Wenn man die Fläche weiter verformt, durchschneidet sie sich selbst und das gesamte Selbstüberschneidungsgebiet wird durch eine Kurve in Form eines 8 vervollständigt. Dabei entsteht ein dreifacher Punkt T.
Die Fläche ist leichter zu verstehen, wenn sie in polyedrischer Form vorliegt und unten haben wir bestimmte Elemente vergrößert, um zu zeigen, was uns veranlasst, dieses Objekt in eine Steiner-Romfläche (siehe virtuelle Realität) zu verwandeln, deren einfachste polyedrische Form darin besteht, vier Würfel zusammenzusetzen (hier sieht man nur drei).
Tafel 5: Das polyedrische Objekt auf der linken Seite, das „rondouillard“ auf der rechten Seite. Der Pfeil nimmt einen Weg, den wir „einklemmen“ werden. Unten ist der Beginn des Einklemmens.
Tafel 6: Das Einklemmen erfolgt durch die Erzeugung eines singulären Punktes B. Tatsächlich, da man von beiden Seiten einklemmt, um Zeit zu sparen; es entstehen zwei singuläre Punkte S1 und S1 sowie zwei Paare kuspider Punkte. Da Sie ohne Karton, Schere und Klebeband schlecht dran sind.
Tafel 7: Wir haben einfach die verschiedenen kuspiden Punkte verschoben. Wenn der Punkt C2 „offensichtlich“ ist, haben Sie etwas mehr Schwierigkeiten, die Punkte C3 und C4 als kuspide Punkte zu erkennen. Sie sind jedoch an dem Ende einer Linie der Selbstüberschneidung vorhanden. Über dem Punkt C3 befindet sich einfach das, was ich „posicoin“ genannt habe, ein Punkt mit positiver Krümmungskonzentration (ein Punkt mit negativer Krümmungskonzentration ist ein „négacoin“). Wenn man dieses Objekt etwas verformt, erhält man eine polyedrische Form der Steiner-Romfläche (die vierte Gradfläche, die von Steiner in Rom erfunden wurde. Siehe
ihre Darstellung in der virtuellen Realität).
Also ist der Trick gelungen. Es gibt verschiedene Arten von Flächen, je nach den Regeln, die man sich auferlegt. Flächen, die sich nicht selbst durchschneiden, werden als Einbettungen bezeichnet (der Kugel, des Torus in R3). Wenn sie sich selbst durchschneiden, aber die Tangentialebene kontinuierlich variiert, nennt man sie Einbettungen. Beispiel: die Klein'sche Flasche in ihrer klassischen Darstellung. Es gibt in R3 keine Darstellung der Klein'schen Flasche als Einbettung. Sie muss sich zwangsläufig selbst durchschneiden. Einbettungen besitzen selbstüberschneidende Mengen, die keine kuspiden Punkte enthalten. Diese Kurven sind stetig, können aber an Stellen, an denen doppelte oder dreifache Punkte vorhanden sind, sich kreuzen. Hinweis: Die Kugel kann in Form einer Einbettung dargestellt werden, indem man sie einfach selbst durchschneidet. Genau so gelangt man dazu, die Kugel umzudrehen (A. Phillips, 1967, mit als zentrales Stadium das zweiblättrige Überlagerung der Boy-Fläche; B. Morin und J.P. Petit, 1979 mit als zentrales Modell das vier Ohren-Modell von Morin, welches ich vor etwa zehn Jahren erfunden habe und das hier unten dargestellt wird.
Plan für die Montage dieses Objekts
mit einem Schnitt
Wenn man die Spielregel erweitert und annimmt, dass diese Objekte kuspide Punkte besitzen, erhält man Überlagerungen (die Cross Cap, die Steiner-Romfläche). Ich weiß nicht, ob das das richtige Wort ist, aber da ich keinen Mathematiker gefunden habe, der mir helfen konnte, fand ich es amüsant, eines zu erfinden, vorübergehend, bis ein Experte in Geometrie auftaucht. Somit wären die Cross Cap und die Steiner-Romfläche Überlagerungen des „projektiven Plans“.
Um es ganz ehrlich zu sagen, nach meinen Problemen mit MHD über 25 Jahre hatte ich diese Arbeiten begonnen, weil sie mir so fern wie möglich von jeder militärischen Anwendung vorkamen. Aber, wie mein alter Freund Mihn bemerkte, könnte der Begriff „Überlagerung“ missverständlich sein und den Marine-Nationale unterstellen, dass ich durch diese Forschungen versuchen würde, eine Fortschritt in der Unterwasser-Antriebstechnik zu verbergen.
Die Regel der „Erzeugung und Zerstörung“ von Paaren kuspider Punkte ermöglicht es, von einer Überlagerung eines Objekts zu einer anderen zu wechseln, und das ist es, was wir gerade getan haben, indem wir zeigten, dass die Cross Cap und die Steiner-Romfläche zwei Überlagerungen eines gleichen Objekts namens projektiver Plan sind. Suchen Sie nicht danach, wie ein „projektiver Plan“ aussieht. Dieses Objekt kann nur durch seine verschiedenen Darstellungen verstanden werden. Was den Begriff „projektiver Plan“ angeht, ist das nur einer von tausend anderen, von Mathematikern erfundenen Begriffen, um diejenigen zu verwirren, die in ihren Kreis eindringen möchten. Der Larousse ist Ihnen in der Mathematik völlig nutzlos.
Wir müssen uns nun der Boy-Fläche zuwenden, die eine Einbettung des projektiven Plans ist
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