Umformung der Crosscap in die Boy-Fläche über die Steiner-Fläche

Umwandlung der Crosscap in eine Boy-Fläche über die Steiner-Romische Fläche

Wie man eine Crosscap in eine Boy-Fläche (rechts oder links, nach Wahl) über die Steiner-Romische Fläche umwandelt.

**27. September 2003 **

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Dann wird das Modell aus einer anderen Perspektive präsentiert:

Blatt 14: Die gleiche Operation wird wiederholt, wobei die dritte „Ohr“ der Selbstschnittkurve erstellt wird. In der polyedrischen Form hat diese die Form von drei Quadraten mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt: dem Tripelpunkt T.

Blatt 15: Wenn Sie das Objekt drehen, finden Sie die polyedrische Version der Boy-Fläche, die ich in der Topologicon vorgestellt habe (wo ein Ausschneidungsmodell zur Konstruktion vorhanden ist).

Letztes Blatt: Ich habe versucht, die Steiner-Fläche (4. Grades, während die Boy-Fläche vom sechsten Grad ist) darzustellen, während sie sich verformt und in eine Boy-Fläche übergeht.

Man sieht, dass man eine gewisse Übung benötigt, um das Objekt zu verstehen. Unser Auge ist sehr unbehaglich, wenn es um die Verständigung eines Objekts geht, bei dem auf einer einzigen Sichtlinie mehr als zwei Schichten übereinander liegen. Daher ist die polyedrische Darstellung interessant, da sie Transformationen, die in der Geometrie als anspruchsvoll gelten, für die Allgemeinheit zugänglich macht, da die Leute den Aufwand betreiben, die Modelle selbst zu bauen. Dabei fällt auf, dass je nach gewählten Paaren von kuspidalen Punkten eine rechte oder linke Boy-Fläche entsteht (wörtlich willkürlich). Der projektive Raum wird in zwei „enantiomorphe“ Darstellungen eingebettet, spiegelbildlich. Man sieht, dass man von einer rechten Boy-Fläche zu einer linken Boy-Fläche über einen „zentralen“ Modell, der Steiner-Romischen Fläche, gelangen kann.

Es wäre sicher sympathisch, wenn solche Zeichnungen in Pour la Science oder La Recherche veröffentlicht würden. Doch seit zwanzig Jahren bin ich in diesen Zeitschriften „verboten“, wegen einer „UFO-Abweichung“. Vielen Dank, Herr Hervé This und Herr Philippe Boulanger. Ich zähle nicht mehr die Artikel dieses Typs, die ich an diese Zeitschriften geschickt und die mir höflich zurückgesandt wurden. Man gewöhnt sich schließlich an seinen Status als Exkommunizierter.

Anekdotisch erwähnt: In Frankreich gibt es einen „Alembert-Preis“, der Autoren von populärwissenschaftlichen Büchern in Mathematik auszeichnet. Die Geschichte wurde mir von einem Mitglied der Kommission erzählt, die entschied, wem der Preis zufallen sollte (es gibt schließlich einige Gelder). Dialog:

• Aber schließlich, könnte man Petit den Preis nicht geben? Er hat bemerkenswerte Werke wie den Géométricon, den Trou Noir und den Topologicon geschrieben.

• Ja, aber er hat nicht nur diese Alben geschrieben.

• Worauf machen Sie an?

• Er hat auch das Mur du Silence geschrieben.

• Ah, in diesem Fall...

Ja, das Mur du Silence, erschienen 1983, ist ein Album, das der MHD gewidmet ist. Und wie jeder weiß, hat diese wissenschaftliche Disziplin die Eigenschaft, oder die List, es den fliegenden Untertassen zu ermöglichen, mit Überschallgeschwindigkeit zu operieren, ohne einen Knall zu machen.

Verstecken Sie diese Wissenschaft, die ich nicht sehen kann

Ich habe in meinen Kästen eine Version des „Wendens des Würfels“ mit einem wunderschönen zentralen Modell, das nicht die polyedrische Version der Morin-Variante ist. Alles aus meiner eigenen Feder. Eines Tages...

22. Oktober 2003: Auf diesen Seiten drängt sich niemand, wenn ich dem Zähler glaube. Am Montag, dem 13. Oktober 2003, habe ich einen Vortrag am CMI (Centre de mathématiques et d'informatique de Château-Gombert-Marseille) gehalten, eingeladen von Trotman. Dabei habe ich eine Sammlung von etwa dreißig Kartonmodellen präsentieren können, die Sie bald in ihrer Originalität sehen werden, da sie von Christophe Tardy fotografiert wurden.

Wenn man einen Vortrag hält, entsteht eine Atmosphäre. Auf dem folgenden Bild ein Geometer, der seine Verwirrung ausdrückt.

Im Hintergrund eine Teil der ausgestellten Modelle. Zu einem Zeitpunkt stellte ich die Frage:

*- Welche von Ihnen haben schon einmal eine Steiner-Romische Fläche gesehen? Heben Sie die Hand. *

Niemand hatte jemals eine gesehen. Ich fand es daher nützlich, das Objekt, in Wirklichkeit virtuell, auf dem Laptop, den ich mitgebracht hatte, vorzustellen, ein Objekt, das mit der Unterstützung von Christophe Tardy, Ingenieur, und Frédéric Descamp, vom Institut Laue Langevin in Grenoble (ILL), realisiert wurde. Offensichtlich verwirrte diese Präsentation die Zuhörer, die nicht daran gewöhnt waren, mathematische Flächen in ihrer Freiheit zu sehen.

Zwei Kartonplatten, die in erster Linie sichtbar sind, ermöglichten die Präsentation der folgenden Modelle in ihrer logischen Reihenfolge. Die Modelle „grün und gelb“ illustrieren in polyedrischer Form das wesentliche Werkzeug zur Erzeugung und Zerstörung eines Paars kuspider Punkte. Das weiteste weiße Objekt ist eine polyedrische Version der Cross Cap, die sich zunächst in eine polyedrische Version der Steiner-Romischen Fläche verwandelt, einen Meter weiter, und dann, auf Wunsch, in eine rechte oder linke Boy-Fläche.

Die Analyse der Modelle brachte verschiedene Bemerkungen in der Zuhörerschaft hervor. Ein Geometer fragte:

*- Wenn man die Modelle in dieser Richtung verfolgt, kann man von der Cross Cap zur Boy-Fläche gelangen, scheint es, dass man umgekehrt eine Boy-Fläche in eine Cross Cap verwandeln kann. *

Ich antwortete mit Ja. Mutiger fragte mein Gesprächspartner weiter:

*- Wenn man am Punkt der Steiner-Romischen Fläche ankommt und dort anhält, ist es dann möglich, in eine gespiegelte Boy-Fläche zurückzukehren. *

Ich stimmte erneut zu. Doch leider wird niemand bereit sein, Klarheit über diese seltsame Welt zu schaffen, in der man geschlossenen Flächen Einbettungen mit kuspiden Punkten verleiht, die paarweise erzeugt oder gelöscht werden, wobei das gesamte Ensemble eine Art Erweiterung des Bereichs der Einbettungen darstellt. Das Wort „Submersionen“ erscheint mir passend. Wenn ein Leser Klarheit findet, wird er willkommen sein.

Krummung konzentriert in einem kuspiden Punkt

Sie wird berechnet, indem man die Winkel am Scheitelpunkt addiert und diese Summe mit der euklidischen Summe vergleicht: 2 p .

Oben links ist eine der mehreren polyedrischen Darstellungen des kuspiden Punktes dargestellt. Die „Zerlegung“ des Objekts (rechts) führt zu einer Summe, die die euklidische Summe 2 p um einen Wert 2 a übersteigt. Daraus lässt sich ableiten, dass die konzentrierte Winkelkrümmung in der Nähe dieses Punktes C gleich - 2 a ist. Wenn der Winkel a gleich p/2 ist, dann beträgt die negative Krümmung **c **(Abbildung unten links). Tatsächlich kann die konzentrierte Krümmung an einem kuspiden Punkt unendlich viele Werte annehmen. Unten rechts wird die Winkelsumme verstärkt und die Krümmung wird dann < 2 a. Die negative Krümmung wird verstärkt.

Durch umgekehrte Operation kann man zu einer recht erstaunlichen Situation gelangen: die Krümmung (Winkel) in C soll ... null sein:

Man kann jetzt von einer polyedrischen Darstellung der Crosscap ausgehen, die zwei kuspide Punkte enthält, die jeweils eine negative Krümmung von - p aufweisen:

Es gibt acht „Posicoins“ mit einem Wert von + p/2. Fügen Sie vier weitere „Posicoins“ mit einer Krümmung von + p/4 und vier „Negacoins“ mit einer Krümmung von - p/4 hinzu.

Plus die beiden kuspiden Punkte mit Krümmung - p.

Gesamt: 2 p

Wenn man diese gesamte Krümmung durch 2 p teilt, erhält man die Euler-Poincaré-Charakteristik...