Umformung der Crosscap in die Boy-Fläche über die Steiner-Fläche

Umwandlung der Crosscap in eine Boy-Fläche über die Steiner-Romische Fläche

Wie kann man eine Crosscap in eine Boy-Fläche (rechts oder links, je nach Wahl) über die Steiner-Romische Fläche umwandeln?

27. September 2003

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Nun wird das Modell aus einer anderen Perspektive präsentiert:

Blatt 14: Die gleiche Operation wird wiederholt, wobei die dritte „Ohr“ der Selbstschnittkurve erzeugt wird. In polyedrischer Form hat diese die Form von drei Quadraten mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt: dem Tripelpunkt T.

Blatt 15: Wenn Sie das Objekt drehen, erhalten Sie die polyedrische Version der Boy-Fläche, die ich im Topologicon vorgestellt und angeregt habe (wo ein Ausschneidungsmodell zur Erstellung vorhanden ist).

Letztes Blatt: Ich habe versucht, die Steiner-Fläche (vom 4. Grad, während die Boy-Fläche vom 6. Grad ist) darzustellen, während sie sich verformt und in eine Boy-Fläche verwandelt.

Man sieht, dass man bei der „Rundouillard“-Form eine große Erfahrung braucht, um das Objekt zu verstehen. Unser Auge ist sehr unbehaglich, wenn es um das Verständnis eines Objekts geht, bei dem auf einer einzigen Sichtlinie mehr als zwei Schichten übereinander liegen. Daher ist das polyedrische Modell interessant, da es Transformationen, die in der Geometrie als anspruchsvoll gelten, für die breite Öffentlichkeit zugänglich macht, da die Leute den Aufwand betreiben, die Modelle selbst zu bauen. Dabei fällt auf, dass je nach gewählten Paaren von kuspiden Punkten eine rechte oder linke Boy-Fläche entsteht (wörtlich willkürlich). Die projektive Ebene wird in zwei „enantiomorphe“ Darstellungen eingebettet, spiegelbildlich. Man sieht, dass man von einer rechten Boy-Fläche zu einer linken Boy-Fläche über ein „zentrales“ Modell, die Steiner-Romische Fläche, gelangen kann.

Es wäre zweifellos sympathisch, wenn solche Zeichnungen in Pour la Science oder La Recherche veröffentlicht würden. Doch seit zwanzig Jahren bin ich in diesen Zeitschriften „verboten“, wegen „UFO-Deviationsismus“. Danke, Herr Hervé This und Herr Philippe Boulanger. Ich zähle nicht mehr die Artikel dieses Typs, die ich diesen Zeitschriften geschickt und die mir höflich zurückgesandt wurden. Man gewöhnt sich schließlich an seinen Status als Exkommunizierter.

Anekdotisch erwähnt sei, dass es in Frankreich einen „Alembert-Preis“ gibt, der Autoren von populärwissenschaftlichen Mathematikbüchern auszeichnet. Die Geschichte erzählte mir ein Mitglied der Kommission, die entschied, wem der Preis zufallen sollte (es gibt schließlich einige Gelder dabei). Dialog:

• Aber schließlich, könnte man nicht Petit den Preis geben? Er hat bemerkenswerte Werke wie den Géométricon, den Trou Noir und den Topologicon geschrieben.

• Ja, aber er hat nicht nur diese Alben geschrieben.

• Worauf machen Sie Hinweis?

• Er hat auch das Buch Der Stille Wall geschrieben.

• Ah, in diesem Fall...

Ja, Der Stille Wall, veröffentlicht 1983, ist ein Album über die MHD. Und, wie jeder weiß, hat diese sulfureuse Wissenschaft die Eigenschaft, oder die List, es den fliegenden Untertassen zu ermöglichen, mit Überschallgeschwindigkeit zu fliegen, ohne einen Knall zu machen.

Verstecken Sie diese Wissenschaft, ich will sie nicht sehen

Ich habe in meinen Kisten eine Version des „Wendens des Würfels“ mit einem wundervollen zentralen Modell, das nicht die polyedrische Version der Morin-Variante ist. Alles von mir. Eines Tages...

22. Oktober 2003: Auf diesen Seiten drängt sich niemand, wenn ich dem Zähler glaube. Am Montag, dem 13. Oktober 2003, hielt ich einen Vortrag am CMI (Centre de mathématiques et d'informatique de Château-Gombert-Marseille) auf Einladung von Trotman. Dabei konnte ich eine Sammlung von etwa dreißig Kartonmodellen präsentieren, die Sie bald in ihrer Urform sehen werden, da sie von Christophe Tardy fotografiert wurden.

Wenn man einen Vortrag hält, entsteht eine Atmosphäre. Auf dem folgenden Bild ist ein Geometer zu sehen, der seine Verwirrung ausdrückt.

Im Hintergrund eine Teilmenge der ausgestellten Modelle. Zu einem Zeitpunkt stellte ich die Frage:

- Wer von Ihnen hat schon einmal eine Steiner-Romische Fläche gesehen? Heben Sie die Hand.

Niemand hatte jemals eine gesehen. Daher hielt ich es für nützlich, das Objekt, in Wirklichkeit virtuell, auf dem Laptop, den ich mitgebracht hatte, vorzustellen, ein Objekt, das mit der Unterstützung von Christophe Tardy, Ingenieur, und Frédéric Descamp, vom Institut Laue Langevin in Grenoble (ILL), realisiert wurde. Offensichtlich verwirrte diese Präsentation die Zuhörer, die nicht daran gewöhnt waren, mathematische Flächen in ihrer ganzen Freiheit zu sehen.

Zwei Kartonplatten, die in der Vordergrund zu sehen sind, ermöglichten es, die folgenden Modelle in ihrer logischen Reihenfolge vorzustellen. Die Modelle „grün und gelb“ illustrieren in polyedrischer Form das wesentliche Werkzeug zur Erzeugung und Zerstörung eines Paares kuspider Punkte. Das weiteste weiße Objekt ist eine polyedrische Version der Cross Cap, die zunächst in eine polyedrische Version der Steiner-Romischen Fläche umgewandelt wird, einen Meter weiter, und dann, nach Belieben, in eine rechte oder linke Boy-Fläche.

Die Analyse der Modelle brachte verschiedene Bemerkungen in der Zuhörerschaft hervor. Einer der Geometer fragte:

- Wenn man die Modelle in dieser Richtung verfolgt, kann man von der Cross Cap zur Boy-Fläche gelangen, scheint es, dass man umgekehrt auch eine Boy-Fläche in eine Cross Cap umwandeln kann.

Ich antwortete mit Ja. Ermutigt fügte mein Gesprächspartner hinzu:

- Wenn man am Punkt der Steiner-Romischen Fläche ankommt und dort anhält, ist es dann möglich, in eine spiegelbildliche Boy-Fläche zurückzukehren?

Ich stimmte erneut zu. Doch leider wird niemand bereit sein, Klarheit über diese seltsame Welt zu schaffen, in der man geschlossenen Flächen Einbettungen mit kuspiden Punkten verleiht, die paarweise erzeugt oder gelöscht werden, wobei das Gesamte eine Art Erweiterung des Bereichs der Einbettungen darstellt. Das Wort „Submersionen“ erscheint mir passend. Wenn ein Leser Klarheit findet, wird er willkommen sein.

Krummung konzentriert in einem kuspiden Punkt

Sie wird berechnet, indem man die Winkel am Scheitelpunkt addiert und diese Summe mit der euklidischen Summe vergleicht: 2 p.

Oben links ist eine der mehreren polyedrischen Darstellungen des kuspiden Punktes dargestellt. Die „Zerlegung“ des Objekts (rechts) führt zu einer Summe, die die euklidische Summe 2 p um einen Betrag 2 a übertrifft. Daraus lässt sich ableiten, dass die konzentrierte Winkelkrümmung in der Nähe dieses Punktes C gleich - 2 a ist. Wenn der Winkel a gleich p/2 ist, dann beträgt die negative Krümmung c (Abbildung unten links). Tatsächlich kann die in einem kuspiden Punkt konzentrierte Krümmung unendlich viele Werte annehmen. Unten rechts wird die Winkelsumme verstärkt und die Krümmung wird dann < 2 a. Die negative Krümmung wird verstärkt.

Durch Umkehrung dieses Vorgangs kann man zu einer recht erstaunlichen Situation gelangen: die Krümmung (Winkel) in C soll ... null sein:

Nun können wir von einer polyedrischen Darstellung der Crosscap ausgehen, die zwei kuspide Punkte enthält, die jeweils eine negative Krümmung von - p aufweisen:

Es gibt acht „Posicoins“ mit einem Wert von + p/2. Fügen wir vier weitere „Posicoins“ mit Krümmung + p/4 und vier „Negacoins“ mit Krümmung - p/4 hinzu.

Zusammen mit den beiden kuspiden Punkten mit Krümmung - p.

Gesamt: 2 p

Wenn man diese gesamte Krümmung durch 2 p teilt, erhält man die Euler-Poincaré-Charakteristik...