Zentrales (polyeder) Modell des Würfelumdrehens
Das zentrale Modell der Würfelumdrehung
- Dez. 2001
Sie haben alle gesehen, wie ein merkwürdiges Objekt ununterbrochen auf der linken Seite der Startseite des Webseiten dreht. Was ist das?
Eines Tages, wenn ich Zeit habe, werde ich auf der Website eine Beschreibung der Kugelumdrehung einfügen, wie ich sie in der Januar-Ausgabe von Pour la science 1979 illustriert hatte, also ... 22 Jahre her. Dies würde selbstverständlich viele Details und eine Einleitung erfordern. Was bedeutet es, eine Kugel zu drehen? Eine Kugel hat für den Durchschnittsmenschen und den Mathematiker-Geometer eine unterschiedliche Bedeutung. Für den Durchschnittsmenschen ist sie in einem dreidimensionalen Raum der Ort aller Punkte, die einen festen Abstand R von einem Punkt O haben. Ein Geometer wird weiterhin "Kugel" nennen, was einer "verformten Kugel", einer Art "Kartoffel" entspricht. Um diese Konzepte genauer zu verstehen, besorgen Sie sich die CD Lanturlu mit der Comic-Verfilmung "Le Topologicon". Aber der Mathematiker geht noch weiter. Wenn eine Fläche als "regulär" bezeichnet wird, kann man an jedem ihrer Punkte einen Tangentialplan definieren. Das ermöglicht bereits, eine unendliche Anzahl von Deformationen der "Ausgangskugel" in eine unendliche Anzahl von Kartoffeln zu betrachten, wobei die Fläche der Fläche beliebig sein kann. In einer "physischen Welt" würde eine Person, die diese Kugel verformt, auf die Unmöglichkeit stoßen, sie selbst durchzuschneiden. Wenn solche Durchdringungen oder sogar Kontakte verboten sind, spricht man dann von Einbettungen der Kugel S2. Aber der Mathematiker gibt sich alle Rechte. Eine Kugel ist für ihn ein "virtuelles" Objekt, in dem das Durchschneiden von Flächen möglich wird. Die folgenden Zeichnungen zeigen eine Kugel, die sich "selbst durchschneidet". Man nennt dann diese Darstellung der Kugel eine Einbettung.
Eine Einbettung hat eine Menge von Selbstschnitten oder Selbstschnitten (hier eine einfache Kreislinie). Der Tangentialplan muss kontinuierlich variieren. Trotzdem, wenn man die Zeichnungen oben betrachtet, sieht man, dass die Operation eine Teil der Kugel (durch die Farbe Grün dargestellt) nach außen dreht. Um einen solchen Umdrehung zu vollenden, müsste man diesen Art von "Wurst" am Äquator plätten. Die Sache scheint zunächst problematisch. Dieses Plätten würde die Kontinuität des Tangentialplans brechen. Die Operation würde also eine Phase enthalten, die keine Einbettung ist.
Eines Tages bewies ein amerikanischer Mathematiker, Stephen Smale, dass "die Kugel S2 nur eine einzige Einbettungsklasse besitzt". Der Schlussfolgerung dieser rätselhaften Aussage war, dass man eine Sequenz von Einbettungen der Kugel durchführen könnte, um von der "Standardkugel" zu ihrer "antipodalen Darstellung" zu gelangen, also zu einer Darstellung, bei der alle Punkte durch ihre Antipoden ersetzt wurden. Kurz gesagt ... eine umgedrehte Kugel, Vorder- und Rückseite. Raoul Bott war Smales Chef. Während die Beweisführung des Letzteren rein formal und ohne Fehler schien, wusste niemand, wie man die Operation durchführen sollte. Bott sagte immer wieder zu Smale: "Zeig mir, wie du es anstellen würdest", auf das Smale mit seinem berühmten Haar auf der Zunge antwortete: "Ich habe keine Ahnung." Smale erhielt später die Field-Medaille, das Äquivalent des Nobelpreises für Mathematik. Auf dem Weg fragen Sie sich vielleicht, warum Nobel nie einen Nobelpreis für Mathematik geschaffen hat. Die Antwort ist einfach: Seine Frau ist mit einem Mathematiker durchgegangen.
Die Dinge blieben so für viele Jahre, bis ein amerikanischer Mathematiker namens Anthony Phillips 1967 in Scientific American eine erste Version dieses Umdrehens veröffentlichte, die entsetzlich kompliziert war. Die zweite wurde Anfang der 1970er Jahre von dem französischen Mathematiker (blinden) Bernard Morin erfunden. Ich war der Erste, der diese Folge von Transformationen zeichnete, die, wie ich bereits sagte, Gegenstand eines nächsten Artikels auf der Website sein wird, ziemlich umfangreich übrigens. Immerhin führt uns dies zu einer Nebenfolgerung. Oberflächen können polyedrische Darstellungen haben. Ein Würfel oder ein Tetraeder können als polyedrische Darstellungen der Kugel betrachtet werden, solange diese Objekte die gleiche Topologie haben. In diesem Punkt, konsultieren Sie meine BD "Le Topologicon". Außerdem wird verstanden, dass wenn es möglich ist, eine Kugel umzudrehen, es auch möglich ist, einen Würfel umzudrehen. Die von Bernard Morin erfundene Transformation (die ich in dem Artikel von Januar 1979 von Pour la science illustrierte) geht durch ein zentrales Modell. Es gibt eine Symmetrie in dieser Sequenz. Das nennt man "das zentrale Modell mit vier Ohren". Ich anticipiere wieder. Aber genauso wie die Kugel polyedrische Darstellungen zulässt, ist dies auch für die aufeinanderfolgenden Schritte dieser Transformation der Fall. Das Objekt, das Sie auf meiner Startseite drehen sehen, ist also die polyedrische Version des zentralen Modells der Kugelumdrehung, ein Modell, das ich vor etwa zehn Jahren erfunden habe. Der Vorteil dieser polyedrischen Modelle ist, dass man sie mit flachen Oberflächen bauen kann. Man kann sie sogar entsprechend Schnitten anordnen. Werfen Sie einen Blick auf die folgende Zeichnung (im Übrigen danke ich meinem Freund Christophe Tardy, der die korrekt bezeichneten Elemente produziert hat).
**Dies ist ein Bild, das auf Ihrem Drucker in kleinem Format erscheint und nicht nutzbar ist. **
Um diese Figur auf einem A4-Blatt zu drucken
Dann müssen Sie vier Kopien auf starkem A4-Papier machen, zwei Blätter in einer Farbe, zwei Blätter in einer anderen
Es handelt sich um einen Schnitt, den Sie hier allgemein sehen. Aber um ihn zu drucken, ist es besser, Sie gehen auf die Seite Schnitt. Drucken Sie sie. Dann, mit diesem Exemplar, das Sie auf dem normalen Papier Ihres Druckers haben, gehen Sie zu einem Fotokopierer und machen Sie vier identische Kopien dieses Bildes, zwei auf grünem Karton und zwei auf gelbem. Sie können dann mit diesem Schnitt das zentrale Modell der Würfelumdrehung bauen.
Auf diesen ausgeschnittenen Elementen haben Sie Paare von Buchstaben: a, b, c, d, e, f usw. Es reicht aus, die gleichen Buchstaben in Übereinstimmung zu bringen und diese Facetten mit transparentem Klebeband zusammenzusetzen. Die folgenden Zeichnungen zeigen, wie man eines der vier Elemente aufbauen muss. Hier ist zunächst, wie man mit dem Falten eines der vier Elemente beginnen muss:
Hier sind zwei dieser vier Elemente, von unterschiedlichen Winkeln aus gesehen.
Diese Elemente passen anschließend zusammen, um ein Objekt mit vierfacher Symmetrie oder abwechselnd grünen und gelben Elementen zu bilden. Um dies in 3D zu sehen, werfen Sie einen Blick auf die Realisierungen von Herrn Tardy in "virtual reality". Das vollständig zusammengebaute zentrale Modell wird auch in dieser Sektion in "vrml" produziert. Hier ist dieses Objekt, von verschiedenen Winkeln aus gesehen:
Man kann nicht sagen, dass eine Ansicht dem "oben" und die andere dem "unten" entspricht, da diese Bezeichnungen völlig willkürlich wären. Auf der linken Ansicht entspricht der "zentrale" Punkt dem "doppelten Punkt" (wo...)