Zentralmodell (polyedrisch) des Würfelumdrehens
Das zentrale Modell der Würfelumdrehung
- Dezember 2001
Sie haben alle gesehen, wie ein merkwürdiges Objekt ununterbrochen auf der linken Seite der Startseite des Webseiten rotiert. Was ist das?
Eines Tages, wenn ich Zeit habe, werde ich auf der Website eine Beschreibung der Kugelumdrehung einfügen, wie ich sie in der Januar-Ausgabe von Pour la science aus dem Jahr 1979 illustriert habe, also bereits ... 22 Jahre her. Dies würde selbstverständlich viele Details und eine Einleitung erfordern. Was bedeutet es, eine Kugel umzudrehen? Eine Kugel hat für den Durchschnittsmenschen und den Mathematiker-Geometer eine unterschiedliche Bedeutung. Für den Durchschnittsmenschen ist eine Kugel in einem dreidimensionalen Raum der Ort aller Punkte, die einen festen Abstand R von einem festen Punkt O haben. Ein Geometer wird weiterhin "Kugel" nennen, was einer "verformten Kugel", einer Art "Kartoffel" entspricht. Um diese Konzepte genauer zu verstehen, besorgen Sie sich die CD Lanturlu mit der Comic-Story "Le Topologicon". Doch der Mathematiker geht noch weiter. Wenn eine Fläche als "regulär" bezeichnet wird, kann man an jedem ihrer Punkte einen Tangentialplan definieren. Das ermöglicht bereits, eine unendliche Anzahl von Verformungen der "Ausgangskugel" in eine unendliche Anzahl von "Kartoffeln" zu betrachten, wobei die Fläche beliebig groß sein kann. In einer "physischen Welt" würde eine Person, die diese Kugel verformt, auf die Unmöglichkeit stoßen, sie selbst durchqueren zu lassen. Wenn solche Durchdringungen oder sogar Kontakte verboten sind, spricht man dann von Einbettungen der Sphäre S2. Aber der Mathematiker gibt sich alle Rechte. Eine Kugel ist für ihn ein "virtuelles" Objekt, in dem das Durchdringen von Flächen möglich wird. Die folgenden Zeichnungen zeigen eine Kugel, die sich "selbst durchdrungen" hat. Man nennt dann diese Darstellung der Kugel eine Einbettung.
Eine Einbettung besitzt eine Menge von Selbstschnittpunkten (hier eine einfache kreisförmige Kurve). Der Tangentialplan muss kontinuierlich variieren. Dennoch, wenn man die Zeichnungen oben betrachtet, sieht man, dass die Operation eine Teil der Kugel (dargestellt durch die grüne Farbe) von innen nach außen dreht. Um einen solchen Umdrehung abzuschließen, müsste man diese Art von "Schlauch" am Äquator plätten. Dies scheint zunächst problematisch zu sein. Dieses Plätten würde die Kontinuität des Tangentialplans brechen. Die Operation würde also eine Phase beinhalten, die keine Einbettung ist.
Eines Tages bewies der amerikanische Mathematiker Stephen Smale, dass "die Sphäre S2 nur eine einzige Einbettungsklasse besitzt". Der Schlussfolgerung dieser rätselhaften Aussage war, dass man eine Sequenz von Einbettungen der Kugel anwenden konnte, um von der "Standardkugel" zu ihrer "antipodalen Darstellung" zu gelangen, also zu einer Darstellung, bei der alle Punkte durch ihre Antipoden ersetzt wurden. Kurz gesagt ... eine umgedrehte Kugel, vorne und hinten. Raoul Bott war Smales Betreuer. Während die Beweisführung des Letzteren rein formal und ohne Fehler schien, wusste niemand, wie man die Operation durchführen sollte. Bott sagte immer wieder zu Smale: "Zeig mir, wie du es anstellen würdest", auf das Smale mit seinem berühmten Spruch antwortete: "Ich habe keine Ahnung." Smale erhielt später die Field-Medaille, das Äquivalent des Nobelpreises für Mathematik. Auf dem Weg fragen Sie sich vielleicht, warum Nobel niemals einen Nobelpreis für Mathematik geschaffen hat. Die Antwort ist einfach: Seine Frau ist mit einem Mathematiker durchgegangen.
Die Dinge blieben lange Zeit so, bis ein amerikanischer Mathematiker namens Anthony Phillips 1967 in Scientific American eine erste Version dieses Umdrehens veröffentlichte, die äußerst kompliziert war. Die zweite wurde Anfang der 1970er Jahre von dem französischen Mathematiker (blinden) Bernard Morin erfunden. Ich war der Erste, der diese Folge von Transformationen zeichnete, die, wie ich bereits sagte, Gegenstand eines nächsten Artikels auf der Website sein wird, der ziemlich umfangreich ist. Immerhin führt uns dies zu einer Nebenfolgerung. Flächen können polyedrische Darstellungen haben. Ein Würfel oder ein Tetraeder können als polyedrische Darstellungen der Kugel betrachtet werden, da diese Objekte die gleiche Topologie haben. In diesem Punkt consultieren Sie meine BD "Le Topologicon". Außerdem wird verstanden, dass, wenn es möglich ist, eine Kugel umzudrehen, es auch möglich ist, einen Würfel umzudrehen. Die von Bernard Morin erfundene Transformation (die ich in dem Artikel von Januar 1979 von Pour la science illustriert habe) geht durch ein zentrales Modell. Es gibt eine Symmetrie in dieser Sequenz. Das nennt man "das zentrale Modell mit vier Ohren". Ich anticipiere wieder. Aber genauso wie die Kugel polyedrische Darstellungen zulässt, gilt dies auch für die aufeinanderfolgenden Schritte dieser Transformationen. Das Objekt, das Sie auf meiner Startseite drehen sehen, ist also die polyedrische Version des zentralen Modells der Kugelumdrehung, ein Modell, das ich vor ungefähr zehn Jahren erfunden habe. Der Vorteil dieser polyedrischen Modelle besteht darin, dass sie mit flachen Oberflächen gebaut werden können. Man kann sie sogar nach Schnitten anordnen. Werfen Sie einen Blick auf das folgende Bild (im Übrigen danke ich meinem Freund Christophe Tardy, der die korrekt bezeichneten Elemente produziert hat).
**Dies ist ein Bild, das auf Ihrem Drucker in kleinem Format herauskommt und nicht nutzbar ist. **
Um diese Figur auf einem A4-Blatt zu drucken
Dann müssen Sie vier Kopien auf starkem A4-Papier machen, zwei Blätter in einer Farbe, zwei in einer anderen.
Es handelt sich um einen Schnitt, den Sie hier allgemein sehen. Aber um ihn zu drucken, ist es besser, Sie gehen auf die Seite Schnitt. Drucken Sie sie. Dann, mit diesem Exemplar, das Sie auf dem normalen Papier Ihres Druckers haben, gehen Sie zu einem Fotokopierer und machen Sie vier identische Kopien dieses Bildes, zwei auf grünem Karton und zwei auf gelbem. Sie können dann mit diesem Schnitt das zentrale Modell der Würfelumdrehung bauen.
Auf diesen ausgeschnittenen Elementen haben Sie Paare von Buchstaben: a, b, c, d, e, f usw. Sie müssen nur die Falten so anbringen, dass die gleichen Buchstaben übereinstimmen, und diese Facetten dann mit transparentem Klebeband zusammenkleben. Die folgenden Zeichnungen zeigen, wie man eines der vier Elemente montiert. Hier ist zunächst, wie man mit dem Falten eines der vier Elemente beginnen muss:
Hier sind zwei dieser vier Elemente, von unterschiedlichen Winkeln aus gesehen.
Diese Elemente passen dann zusammen, um ein Objekt mit vierfacher Symmetrie oder abwechselnd grünen und gelben Elementen zu bilden. Um dies in 3D zu sehen, werfen Sie einen Blick auf die Realisierungen von Herrn Tardy in "virtual reality". Das vollständig zusammengebaute zentrale Modell wird auch in "vrml" in dieser Sektion produziert. Hier ist dieses Objekt, von verschiedenen Winkeln aus gesehen:
Man kann nicht sagen, dass eine Ansicht dem "oben" und die andere dem "unten" entspricht, da diese Bezeichnungen völlig willkürlich wären. Auf der linken Ansicht entspricht der "zentrale" Punkt dem "doppelten Punkt" (wo...)