Wie man eine Crosscap in eine Boy-Fläche (rechts oder links, nach Wahl) verwandelt, indem man über die Steiner'sche Römische Fläche geht.
27. September - 25. Oktober 2003
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All das ist, wie Kipling sagen würde, „großer Trick und starke Magie".
Ich bin im Ruhestand, aber, könnte man sagen, ich betreibe trotzdem immer noch ein wenig Forschung, wider Willen, so wie andere Reihen beim Stricken aneinanderreihen. Wenn Sie Geduld haben und sich Kartonblätter in 200 g kariert besorgen, können Sie alle diese Modelle leicht nachbauen. Mein Freund Christophe Tardy stellt daraus gerade eine Animation zusammen, die nicht schlecht werden dürfte.
Die Crosscap wird in den folgenden Zeichnungen erscheinen, ebenso wie die Steiner'sche Römische Fläche. Aber Sie können sie entdecken, indem Sie in den Bereich Virtual Reality gehen, der voraussetzt, dass Sie Cosmoplayer auf Ihren Rechner heruntergeladen haben. Tun Sie es, es ist wirklich schön. Alles spielt sich dank der „Spitzpunkte" ab. Diese Punkte entstehen ganz natürlich, wenn Sie auf ein Pferd steigen und die Beine ruckartig zusammenpressen. Der Körper des Pferdes wird dann entlang eines Segments plattgedrückt. Sein linker Schenkel verbindet sich dann mit seiner rechten Schulter, während sich sein rechter Schenkel mit seiner linken Schulter verbindet. Was den Spitzpunkt betrifft, suchen Sie ihn nicht: Sie sitzen einfach darauf;
Aber all das ist ... rundlich. Gehen wir zu einer „polyedrischen Darstellung" des Spitzpunkts über (so wie ein Würfel oder ein Tetraeder als polyedrische Darstellungen einer einfachen Kugel betrachtet werden können). Die fette Linie stellt die „Selbstdurchdringungskurve" dar, die übrigens durch den Spitzpunkt C abgeschlossen wird.
Drucken Sie diese Tafeln aus, das ist besser. Im Folgenden werden Sie einen Spitzpunkt in „verschiedenen Konfigurationen" erkennen müssen und ihn nicht mit einer einfachen Ecke des Polyeders verwechseln dürfen. Bauen Sie diese verschiedenen Objekte, wenn Sie den Mut dazu haben, aus Pappe, dann werden Sie sie besser verstehen. Nachstehend haben wir eine wesentliche Operation, genannt „Erzeugung-Vernichtung eines Paares von Spitzpunkten". Die erste Zeichnung stellt eine Art Zylinder dar, der sich selbst entlang der fetten Linie durchschneidet und dessen Querschnitt an den griechischen Buchstaben Gamma erinnert, und zwar umgekehrt. Man verformt dann diese Fläche, indem man die Röhre zusammenkneift, deren Querschnitt die Form einer „umgekehrten Träne" hat. Diese Träne entartet zu einem Punkt S. Dann spaltet sich dieser Punkt in zwei Spitzpunkte auf. Das ist die Erzeugung eines Paares. Die umgekehrte Operation lässt zwei Spitzpunkte sich annihilieren. Darunter finden Sie die polyedrische Version der Operation.
Nachstehend eine andere polyedrische Darstellung der Transformation, die dem nahekommt, was Sie später in der Fläche geschehen sehen werden.
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