Wie man eine Crosscap in eine Boy-Fläche (rechts oder links, nach Wahl) verwandelt, indem man über die Steiner'sche Römische Fläche geht.
27. September - 25. Oktober 2003
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Hier ist eine Cross Cap (so wie Sie sie in den Bildern der virtuellen Realität entdeckt haben werden).
Sie weist zwei Spitzpunkte auf, die eine Selbstschnittlinie begrenzen.
Man kann sie herstellen, indem man einen Ballon mit einem Lockenstab einklemmt.
Aber Sie können auch polyedrische Darstellungen davon konstruieren.
Die untere wird uns besonders interessieren.
In dieser Tafel 4 liegt der am schwersten zu erfassende Moment. Es erscheint mir nahezu unmöglich, dass irgendjemand diese Figuren versteht, indem er einfach die Zeichnungen betrachtet. Bauen Sie diese Modelle. Klar gesagt, zieht man den Spitzpunkt C2 zum „Inneren der Fläche"
(was übrigens keinen Sinn ergibt, da, wie Sie zweifellos sofort bemerkt haben werden, die Cross Cap einseitig ist. Bei weiterem Ziehen durchdringt sich die Fläche selbst und die Menge der Selbstschnitte vervollständigt sich, „rundlich", zu einer Kurve in Form einer 8. Dabei entsteht ein dreifacher Punkt T.
Die Fläche ist in ihrer polyedrischen Form verständlicher, und unten haben wir bestimmte Elemente vergrößert, um zu zeigen, was uns dazu veranlasst, dieses Objekt in eine Steiner'sche Römische Fläche umzuwandeln (siehe die virtuelle Realität), deren einfachste polyedrische Form darin besteht, vier Würfel zusammenzusetzen (hier sieht man nur drei davon).
Tafel 5: Links das Polyedrische, rechts das Rundliche. Der Pfeil nimmt einen Durchgang, den man „einklemmen" wird. Unten der Beginn des Einklemmens.
Tafel 6: Das Einklemmen wird vollzogen, indem ein singulärer Punkt B erzeugt wird. Da man tatsächlich auf beiden Seiten einklemmt, um Zeit zu sparen, bilden sich zwei singuläre Punkte S1 und S1 und dann zwei Paare von Spitzpunkten. Da sind Sie ohne Bristol, Schere und Klebeband aufgeschmissen.
Tafel 7: Man hat einfach die verschiedenen Spitzpunkte wandern lassen. Wenn der Punkt C2 „offensichtlich" ist, werden Sie etwas mehr Mühe haben, die Punkte C3 und C4 als Spitzpunkte zu erkennen. Sie sind jedoch am Ende einer Selbstschnittlinie vorhanden. Über dem Punkt C3 befindet sich einfach das, was ich einen „Posicoin" genannt habe, einen Konzentrationspunkt positiver Krümmung (ein Konzentrationspunkt negativer Krümmung ist ein „Negacoin"). Wenn man dieses Objekt ein wenig verformt, stößt man auf eine polyedrische Form der Steiner'schen Römischen Fläche (eine Fläche 4. Grades, die von Steiner in Rom erfunden wurde. Siehe
ihre Präsentation in virtueller Realität).
Also, der Trick ist gelungen. Es gibt verschiedene Arten von Flächen, je nach den Regeln, die man sich auferlegt.
Flächen, die sich nicht selbst schneiden, nennt man Einbettungen (der Sphäre, des Torus in R3). Wenn sie sich schneiden, aber die Tangentialebene stetig variiert, nennt man sie Immersionen.
Beispiel: die Kleinsche Flasche in ihrer klassischen Darstellung. Es gibt in R3 keine Darstellung der Kleinschen Flasche in Form einer Einbettung. Sie schneidet sich notwendigerweise selbst.
Immersionen besitzen Mengen von Selbstschnitten, die frei von Spitzpunkten sind. Diese Kurven sind stetig, können sich aber an Stellen von Doppel- oder Dreifachpunkten kreuzen. Anmerkung: Die Sphäre kann in Form einer Immersion auftreten, indem man sie einfach sich selbst schneiden lässt. So gelingt es übrigens auch, sie umzustülpen (A. Phillips, 1967, mit der zweiblättrigen Überlagerung einer Boy-Fläche als zentralem Schritt; B. Morin und J. P. Petit, 1979 mit dem Morin'schen Vier-Ohren-Modell als zentralem Modell, von dem hier im Folgenden eine polyedrische Darstellung folgt, die ich vor etwa zehn Jahren erfunden habe.
Plan zum Zusammenbau dieses Objekts mit Hilfe eines Ausschnitts
Wenn man die Spielregel erweitert, indem man annimmt, dass diese Objekte Spitzpunkte besitzen, erhält man Submersionen (die Cross Cap, die Steiner'sche Römische Fläche). Ich weiß nicht, ob das das richtige Wort ist, aber da ich keinen Mathematiker gefunden habe, der mich aufklären konnte, fand ich es amüsant, eines zu erfinden, vorläufig, bis sich ein Geometrie-Experte meldet. So wären die Cross Cap und die Steiner'sche Römische Fläche Submersionen der „projektiven Ebene".
Um Ihnen alles zu sagen: Nach meinen Missgeschicken auf dem Gebiet der MHD über fünfundzwanzig Jahre hatte ich diese Arbeiten begonnen, weil sie mir so weit wie möglich von jeder militärischen Anwendung entfernt schienen. Aber wie mein alter Freund Mihn bemerkte, könnte der Begriff Submersion zu Verwechslungen führen und bei der Marine Nationale die Vermutung nahelegen, dass ich durch diese Forschungen versuchte, irgendeinen Durchbruch auf dem Gebiet des Unterwasserantriebs zu verbergen.
Die Regel der „Erzeugung-Vernichtung" von Paaren von Spitzpunkten erlaubt es, von einer Submersion eines Objekts zu einer anderen überzugehen, und genau das haben wir gerade getan, indem wir gezeigt haben, dass die Cross Cap und die Steiner'sche Römische Fläche zwei Submersionen ein und desselben Objekts namens projektive Ebene waren. Suchen Sie nicht, wie eine „projektive Ebene" aussieht. Dieses Objekt kann nur durch seine verschiedenen Darstellungen erfasst werden. Was das Wort projektive Ebene betrifft, so ist es nur eines von tausend anderen, die von Mathematikern erfunden wurden, um diejenigen in die Irre zu führen, die in ihren geschlossenen Kreis eindringen wollten. Der Larousse wird Ihnen in der Mathematik von keinem Nutzen sein.
Es bleibt uns dann noch, zur Boy-Fläche überzugehen, die eine Immersion der projektiven Ebene ist
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einer Cross Cap in Boy"
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