Wie man eine Kreuzhaube in eine Boy-Fläche (rechts oder links, nach Wahl) überführt, indem man die Steiner-Römische Fläche durchläuft.
27. September 2003
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Das Modell wird nun unter einem anderen Blickwinkel präsentiert:
Tafel 14: Man wiederholt denselben Vorgang, indem man das dritte „Ohr“ der Selbstüberschneidungskurve erzeugt. In der polyedrischen Darstellung hat diese die Form von drei Quadraten mit einem gemeinsamen Eckpunkt: dem dreifachen Punkt T.
Tafel 15: Durch Drehen des Objekts erhält man die polyedrische Version der Boy-Fläche, die ich erfunden und im Topologicon vorgestellt habe (dort findet sich auch ein Schnittmuster zu ihrer Konstruktion).
Letzte Tafel: Ich habe versucht, die Steiner-Fläche (vom 4. Grad, während die Boy-Fläche vom sechsten Grad ist) dabei darzustellen, wie sie sich verformt und in eine Boy-Fläche umwandelt.
Man sieht, dass man im „Rundlichen“ eine gewisse Übung braucht, um das Objekt zu verstehen. Unser Auge fühlt sich sehr unbehaglich, wenn es darum geht, ein Objekt zu begreifen, bei dem auf einer einzigen Blickrichtung mehr als zwei Flächenstücke übereinanderliegen. Daher das Interesse an der polyedrischen Darstellung, die als anspruchsvoll geltende geometrische Transformationen für jedermann zugänglich macht, sofern man sich die Mühe macht, die Modelle selbst zu bauen. Dabei bemerkt man, dass man je nach gewähltem Paar von Spitzpunkten eine „rechte“ oder „linke“ Boy-Fläche erhält (völlig willkürliche Bezeichnungen). Die projektive Ebene lässt sich auf zwei „enantiomorphe“, spiegelbildliche Weisen einbetten. Man erkennt, dass man von einer rechten Boy-Fläche zu einer linken Boy-Fläche über ein „zentrales“ Modell wechseln kann, nämlich die Steiner-Römische Fläche.
Es wäre zweifellos schön, wenn solche Zeichnungen in Pour la Science oder La Recherche veröffentlicht würden. Aber seit zwanzig Jahren bin ich in diesen Zeitschriften wegen „ufologischer Abweichungen“ mit Publikationsverbot belegt. Vielen Dank, Herr Hervé This und Herr Philippe Boulanger. Ich habe aufgehört zu zählen, wie viele Artikel dieser Art ich an diese Zeitschriften geschickt habe und die mir höflich zurückgesandt wurden. Man gewöhnt sich schließlich an seinen Status als Exkommunizierter.
Anekdotisch gibt es in Frankreich einen „d’Alembert-Preis“, der Autoren populärwissenschaftlicher Mathematikbücher auszeichnen soll. Diese Geschichte wurde mir von einem Mitglied der Jury erzählt, die über die Vergabe des Preises entscheidet (es geht immerhin um ein paar Euro). Dialog:
- Aber könnte man Petit nicht den Preis zusprechen? Er hat bemerkenswerte Werke wie das Géométricon, Le Trou Noir und das Topologicon verfasst.
- Ja, aber er hat nicht nur diese Alben geschrieben.
- Worauf spielen Sie an?
- Er hat auch Le Mur du Silence geschrieben.
- Ah, unter diesen Umständen...
Ja, Le Mur du Silence, erschienen 1983, ist ein Album über die Magnetohydrodynamik (MHD). Und wie jeder weiß, hat diese anrüchige Wissenschaft die Eigenschaft – oder den Boshaftigkeit –, es fliegenden Untertassen zu ermöglichen, sich mit Überschallgeschwindigkeit zu bewegen, ohne einen Knall zu erzeugen.
Versteckt diese Wissenschaft, die ich nicht sehen kann
In meinen Schubladen habe ich eine wunderbare Version des „Würfel-Umschlags“ mit einem zentralen Modell von großer Schönheit, das nicht die polyedrische Variante der Morin-Variante ist. Alles von mir. Irgendwann einmal...
22. Oktober 2003: Die Zugriffe auf diese Seiten sind nicht gerade zahlreich, wenn man dem Zähler glaubt. Am Montag, den 13. Oktober 2003, habe ich auf Einladung von Trotman ein Seminar am CMI (Centre de mathématiques et d'informatique in Château-Gombert-Marseille) gehalten. Dabei konnte ich eine Sammlung von etwa dreißig Pappmodellen aufstellen, deren Bilder Sie demnächst exklusiv sehen werden, da sie von Christophe Tardy fotografiert wurden.
Wenn man ein Seminar hält, entsteht eine bestimmte Atmosphäre. Auf dem folgenden Foto drückt ein Geometer seine Verwirrung aus.
Im Hintergrund ein Teil der ausgestellten Modelle. Irgendwann stellte ich die Frage:
- Wer hat schon einmal eine Steiner-Römische Fläche gesehen? Bitte Hand heben.
Niemand hatte je eine gesehen. Daher hielt ich es für sinnvoll, das Objekt in virtueller Realität auf meinem mitgebrachten Laptop zu präsentieren, ein Objekt, das mit Hilfe von Christophe Tardy, Ingenieur, und Frédéric Descamp vom Institut Laue-Langevin in Grenoble (ILL) erstellt wurde. Offensichtlich verunsicherte diese Präsentation das Publikum, das es nicht gewohnt ist, mathematische Flächen beliebig wirbeln zu sehen.
Zwei im Vordergrund sichtbare Pappwände dienten dazu, die Modelle in ihrer logischen Reihenfolge zu präsentieren. Die „grünen und gelben“ Modelle illustrieren in polyedrischer Form das wesentliche Werkzeug zur Erzeugung und Vernichtung eines Paars von Spitzpunkten. Das am weitesten entfernte weiße Objekt ist eine polyedrische Version der Kreuzhaube, die sich zunächst in eine polyedrische Version der Steiner-Römischen Fläche verwandelt, einen Meter weiter, und dann nach Belieben in eine „rechte“ oder „linke“ Boy-Fläche.
Die Analyse der Modelle bringt verschiedene Bemerkungen im Publikum hervor. Einer der Geometer fragt:
- Wenn man den Modellen in dieser Richtung folgt und von der Kreuzhaube zur Boy-Fläche übergehen kann, scheint es, dass man durch Umkehrung des Prozesses eine Boy-Fläche in eine Kreuzhaube verwandeln können sollte.
Ich stimme zu. Ermutigt fügt mein Gesprächspartner hinzu:
- Wenn man beim Stadium der Steiner-Römischen Fläche innehält, wird es dann möglich, zu einer spiegelbildlichen Boy-Fläche zurückzukehren.
Ich stimme erneut zu. Aber leider meldet sich niemand, um Klarheit über diese seltsame Welt zu schaffen, in der Einbettungen geschlossener Flächen mit Spitzpunkten versehen werden, die paarweise erzeugt oder vernichtet werden und insgesamt eine Art Erweiterung der Welt der Einbettungen bilden. Das Wort „Submersionen“ fände ich passend. Falls ein Leser Klarstellungen findet, sind sie willkommen.
Krümmung konzentriert in einem Spitzpunkt
Sie wird berechnet, indem man die Winkel an den Eckpunkten summiert und diese Summe mit der euklidischen Summe vergleicht: 2π.
Oben links ist eine der vielen polyedrischen Darstellungen des Spitzpunkts abgebildet. Das „Auseinandernehmen“ des Objekts (rechts) führt zu einer Summe, die die euklidische Summe 2π um den Wert 2α überschreitet. Daraus folgt, dass die in der Nähe dieses Punkts C konzentrierte Winkelkrümmung -2α beträgt. Wenn der Winkel α gleich π/2 ist, beträgt die negative Krümmung c (Abbildung unten links). Tatsächlich kann die in einem Spitzpunkt konzentrierte Krümmung unendlich viele Werte annehmen. Unten rechts wird die Winkelsumme erhöht, und die Krümmung muss dann < 2α sein. Die negative Krümmung wird verstärkt.
Durch Umkehrung des Vorgangs kann man zu einer ziemlich erstaunlichen Situation gelangen: Man sorgt dafür, dass die (Winkel-)Krümmung, die in C konzentriert ist, ... null ist:
Man kann nun von einer polyedrischen Darstellung der Kreuzhaube ausgehen, in der zwei Spitzpunkte enthalten sind, die jeweils einer negativen Krümmung von -π entsprechen:
Es gibt acht „Posiecken“, die einem Wert von +π/2 entsprechen. Fügt man vier weitere „Posiecken“ mit Krümmung +π/4 und vier „Negaecken“ mit Krümmung -π/4 hinzu
sowie die beiden Spitzpunkte mit Krümmung -π.
Gesamt: 2π
Teilt man diese Gesamtkrümmung durch 2π, erhält man die Euler-Poincaré-Charakteristik aller Darstellungen der projektiven Ebene (wie der Boy-Fläche).
Während meines Vortrags habe ich die Kunst und Weise erwähnt, wie man die beiden Spitzpunkte einer Kreuzhaube unter Verwendung der Sphären-Umstülpung vertauscht. Ich weiß nicht mehr, ob ich das irgendwo auf meiner Website veröffentlicht habe. Es ist ein solches Chaos. Ich muss danach suchen, sonst stelle ich es irgendwo ein. Es ist ganz amüsant. Jedenfalls gefiel diese Vorführung einem der Anwesenden beim Seminar nicht besonders.
- Ich verstehe nicht, warum Petit ein derartiges Beiwerk benutzt, um die Symmetrie zu demonstrieren, die die beiden Spitzpunkte einer Kreuzhaube verbindet. Es gibt viel einfachere Wege.
Und er zeichnete an die Tafel das Bild einer Sphäre, die von zwei Linealen zerquetscht wird, die man aneinanderlegt, und die tatsächlich eine Selbstüberschneidungsmenge in Form eines von zwei Spitzpunkten begrenzten Segments ergibt, wie es bei der Kreuzhaube der Fall ist. Leider, und unser Mann bemerkte es, ist das keine Kreuzhaube.
- Zum Teufel, was ist es dann? fragte jemand.
Es ist einfach eine Sphäre, versehen mit zwei Spitzpunkten. Wenn man sie zusammenfließen lässt, erhält man eine Selbstüberschneidungslinie, die dann zu einem einfachen Kreis wird. Und man erhält unten links (im Schnitt) eine Einbettung der Sphäre, die man nur noch in ihre Einbettung (ohne Selbstüberschneidung) überführen muss. Man kann zudem zu einer polyedrischen Darstellung dieser Fläche übergehen:
Sie ist zweiseitig und die Krümmung beträgt 2π.
Man kann also viel Spaß mit diesen „Submersionen“ haben. Nehmen wir eine Einbettung des Torus, die darin besteht, das „Unendlich“-Zeichen oder eine „Acht“ um eine Achse rotieren zu lassen.
Die Technik des Zusammenfließens der Spitzpunkte ermöglicht es uns, sehr schnell zur Standard-Einbettung des Torus zu gelangen, wie in der folgenden Bildreihe dargestellt.
Aber die Dinge erweisen sich manchmal nicht als so einfach und offensichtlich. Ich nehme zum Beispiel eine Sphäre, die ich zwischen zwei Segmente zerquetsche, die diesmal Längen haben, die kleiner als der Durchmesser sind. Man erhält wieder zwei Spitzpunkte.
Da man ein Möbiusband darin einbetten kann, ist diese Fläche einseitig. Wir haben ihre polyedrische Darstellung abgebildet, die die Berechnung ihrer Gesamtkrümmung ermöglicht. Man findet null. Wenn ich mich nicht irre, wäre es dann eine Kleinsche Flasche. Man kennt im Allgemeinen nur die klassischste Einbettung, bei der die Selbstüberschneidungslinie ein einfacher Kreis ist. Aber es gibt andere, wie diese. Ich gebe zu, dass ich noch nicht herausgefunden habe, wie man das obige Objekt in eine Einbettung der Kleinschen Flasche verwandelt. Ich weiß auch nicht, ob die verschiedenen Einbettungen zur gleichen Homotopiegruppe gehören (die Sphäre hat nur eine). A priori nein, da der Torus auf vier verschiedene Arten eingebettet werden kann, die nicht durch eine reguläre Homotopie miteinander verbunden werden können. In der Zwischenzeit habe ich mir den Spaß gemacht, diese Fläche zu transformieren, indem ich zwei zusätzliche Spitzpunkte erzeugte, und man erhält dann zwei durch ein Rohr verbundene Kreuzhauben. Durch Zerschneiden erhält man eine Euler-Poincaré-Charakteristik gleich null.
Diese „seltsame Fläche“ sollte sich in eine der Einbettungen der Kleinschen Flasche verwandeln lassen. Aber welche? Jedenfalls ist hier eine, die man erhält, indem man die „Acht“ um eine Achse rotieren lässt und ihr zusätzlich eine halbe Drehung auferlegt:
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